Новый класс простых чисел, который я открыл случайно +75


AliExpress RU&CIS

Всем привет! Это мой первый пост на Хабре, потому я представлюсь: меня зовут Костя, я разработчик C++, немного музыкант, начинающий ML инженер и любитель математики. Как не сложно догадаться этот пост будет о моём математическом хобби.

UPD: Были добавлены выводы. Так же я встретил недопонимание в комментариях, и решил привести дополнительные примеры, и в результате так же расширил выводы.

Предыстория: порядка 14 лет назад я столкнулся с феноменом циклических чисел, я был заворожен закономерностями которые в них образуются и пообещал себе объяснить их. Вначале я предпринимал наивные попытки анализа, которые принесли очень посредственные результаты, однако в 2016 году мне удалось самостоятельно увидеть что рациональная дробь 1/7 может быть представлена сходящейся геометрической прогрессией. Признаюсь честно в тот момент я даже не понял что это геометрическая прогрессия, но распознал её визуально. В 2018 году я решил приложить все свои навыки и старание чтобы найти как можно больше закономерностей циклических чисел. Я нашел очень много, но сейчас хочу поделиться тем, которое считаю самым важным, и по иронии - найденным мной случайно: новый класс простых чисел.

Я занимался исследованием full reptend prime, простых чисел, а если быть более точным - таких систем счисления для простых чисел, в которых 1/P, где P - простое число,  будет давать периодическую дробь, период которой будет равен циклическому числу.

Здесь нужно пожалуй привести само определение циклического числа:

Циклическое число — это целое число, циклические перестановки которого являются произведением этого числа на последовательные числа.

Самое известное циклическое число — 142857, которое было популяризировано псевдонаучными концепциями "эннеаграммы" + вторая ссылка. Но я так же встречал его в научно популярных книгах, в частности в занимательной математике Перельмана. Не того гения, который доказал гипотезу Пуанкаре, а Якова Исидоровича Перельмана, жившего на век раньше и занимавшегося популяризацией науки. Это была несколько детская, но интересная книга "Занимательная арифметика. Загадки и диковинки в мире чисел".

Рассмотрим циклические перестановки этого числа:

142857 * 2 = 285714

142857 * 3 = 428571

142857 * 4 = 571428

142857 * 5 = 714285

142857 * 6 = 857142

Как можно увидеть, при умножении изначального числа 142857 на числа от 2 до 6, мы получаем циклические перестановки числа 142857. Когда я впервые это увидел мне это показалось настоящей магией.

Как я говорил выше, в один момент я заметил что 1/7 может быть представлена геометрической прогрессией. Позже я заметил что это не единственная сходящаяся геометрическая прогрессия для 1/7, я увидел ещё одну. Потом ещё одну.

Я наконец потом я заметил что у 1/7 была бесконечность сходящихся геометрических прогрессий. Окей формулы будут ниже! И вот вот я уже перейду к изложению математики, но эта преамбула была нужна чтобы объяснить, что исследуя эту формулу - я случайно нашёл тот самый класс простых чисел о которым я говорю, а потом мне посчастливилось найти в нем очень необычные закономерности.

Теперь немного исторической справки, наверное многим, как и мне стало интересно, когда люди впервые узнали о таком свойстве простого числа 7 в десятичной системе счисления. Не удивительно - но вся литература будет зарубежной.

Первое упоминание, связанное с циклическими числами и full reptend prime, встречается в книге«The Philisophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View on the Theory and Practice of Calculation».

Эта книга была опубликована за 200 лет до текущей работы, однако уже тогда была сформулирована возможность разложения периодической дроби в форме сходящейся геометрической прогрессии. Авторы книги не используют термин «геометрическая прогрессия», однако они успешно показывают разложение дроби 1/7 на сумму уменьшающихся дробей.

В книге «History of the Theory of Numbers» встречается формулировка условия, при котором возникают full reptend prime.

В книге «The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers» можно найти упоминания о циклических числах и их связи с repunit.

В книге «The Book of Numbers» присутствует упоминание остатков от деления при образовании периодической дроби, которые впоследствии используются в формуле геометрических прогрессий.

Однако ни в этих книгах, ни в интернетах я не смог найти информацию, которую я открыл самостоятельно, чему был сильно удивлен, потому спешу поделиться ей в этой статье. Итак дальше вас ждёт непосредственно математика.

Циклические простые числа

Первым циклическим простым числом, образованным от 142857, является 1428571, это число простое. Такое число можно записать по первой цифре изначального циклического числа и общему количеству цифр. Например, для 1428571 первая цифра это 1, и общее число цифр — 7.

Приведем все простые числа, образованные от циклического числа 142857, и не превышающие титанические простые числа (до 10 тысяч цифр). Первые числа записаны целиком, более длинные описываются первой цифрой и количеством цифр.

Первые 7 циклических простых чисел, образованных от числа 142857: 1428571, 71428571, 7142857142857, 571428571428571, 1428571428571428571428571, 28571428571428571428571428571, 7142857142857142857142857142857.

Количество цифр в этих числах в десятичной системе счисления: 7, 8, 13, 15, 25, 29, 31.

Дальнейшие числа очень длинные и будут представлены только первой цифрой и количеством цифр.

Первая цифра

Число цифр

2

34

4

41

7

104

5

273

5

304

1

355

7

440

7

571

1

823

7

2215

5

2523

4

4379

2

4510

4

7553

4

7679

7

9536

Всего 23 простых числа, не превышающих 101000.

Свойства простых чисел в зависимости от системы счисления. Full reptend prime

Для того, чтобы рассмотреть, как возникают циклические простые числа, нам нужно также рассмотреть, как возникают циклические числа.

Существует класс простых чисел под названием full reptend prime или long prime. Соответствующего названия на русском языке нет. Данный класс простых чисел зависит от системы счисления, это значит, что каждое простое число является full reptend в некоторой системе счисления.

Простое определение full reptend и циклического числа

P — простое число, если периодическая дробь, образованная в ходе вычисления рациональной дроби 1/P, в некоторой системе счисления N имеет период, равный P-1, то можно говорить, что простое число P в N системе счисления является full reptend.

Если число P является full reptend в некоторой системе счисления N, то все P-1 его цифр образуют циклическое число.

Более сложное определение

Если система счисления взаимно проста по отношению к числу P, то частное Ферма будет являться целым числом, на основании малой теоремы Ферма. Если система счисления является первообразным корнем мультипликативной группы кольца вычетов по модулю P, то тогда частное Ферма - циклическое число, а P - full reptend prime.

Рассмотрим простое число P = 7 в десятичной системе счисления. Число образованное от 1/P = 0,(142857). Период равен 6, что равно P-1. Рассмотрим остальные дроби из множества 1/P .. P-1/P:

2/P = 0,(285714)

3/P = 0,(428571)

4/P = 0,(571428)

5/P = 0,(714285)

6/P = 0,(857142)

Мы наблюдаем, что в данной дроби сохраняется свойство циклической перестановки. Ниже будет представлена одна из визуализаций. В этой таблице каждая строка представляет собой простое число, они указаны слева. Каждый столбец представляет собой систему счисления, они указаны сверху. Значение в ячейке - длина периода дроби 1/P. Зеленым цветом выделены ячейки которые являются full reptend.

Вначале разберем отдельные части этой таблицы:

Для каждого простого числа P есть последовательность из возможных длин периода дроби 1/P. Длина этой последовательности равна P. Для P = 2 длина цикла систем счисления равна 2, для P = 3 длина цикла систем счисления равна 3, и т.д.

Для расчета длины периода в некоторой системе счисления необходимо найти такое n:

(система счисленияn) mod P = 1

Ниже приведена таблица для разных P в разных системах счисления:

В десятичной системе счисления мы видим, что первые простые числа, являющиеся full reptend, это 7, 17, 19, 23, 29. Числа 2 и 5 не имеют здесь периода, поскольку основание системы счисления делится на оба этих простых числа без остатка.

В случае P = 3 мы получаем периодическую дробь с единичной длиной периода в десятичной системе: 1/3 = 0,(3). В случае P = 11 мы получаем периодическую дробь с длиной периода, равной 2 в десятичной системе: 1/11 = 0,(09).

При P = 13 мы получим особый случай, длина периода равна 6, что не равно P-1. Однако длина периода равна (P-1)/2, когда соблюдается такая пропорция, образуется два набора циклических чисел. Такое число P называется 2nd reptend level prime. Приведем пример 2nd reptend level prime:

1/13 = 0,(076923)

2/13 = 0,(153846)

 Все другие дроби от P = 13, вплоть до P-1/P, будут состоять из тех же цифр, что и 1/13 или 2/13, но с циклическими перестановками.

 3/13 = 0,(230769) — цикл 1

4/13 = 0,(307692) — цикл 1

5/13 = 0,(384615) — цикл 2

6/13 = 0,(461538) — цикл 2

7/13 = 0,(538461) — цикл 2

8/13 = 0,(615384) — цикл 2

9/13 = 0,(692307) — цикл 1

10/13 = 0,(769230) — цикл 1

11/13 = 0,(846153) — цикл 2

12/13 = 0,(923076) — цикл 1

2nd reptend level prime тоже образуют циклические простые числа: от каждой из последовательностей цифр могут образовываться простые числа.

Т.е. существуют простые числа: 769230769, 769230769230769230769,769230769230769230769230769230769.

Но также и: 1538461.

Также в завершение этой темы интересно отметить, что системы счисления, в которых мы встречаем full reptend prime, тоже являются необычными. Для P = 7 первые 2 системы счисления, в которых оно является full reptend, это системы с основанием 3 и 5 — простые числа близнецы.

Далее эти точки повторяются через каждые 7 систем счисления. Когда сумма оснований систем счисления делится без остатка на 12, мы встречаем снова простые числа близнецы. Например, 17 и 19, 59 и 61.

Представление периодической дроби в форме сходящейся геометрической прогрессии

Каждая из дробей, образованных full reptend или n-th repntend level может быть разложена на сходящиеся геометрические прогрессии. Для каждого простого числа P и заданной системы счисления N существует бесконечное количество таких геометрических прогрессий.

Формула для записи суммы геометрической прогрессии для 1/P:

\begin{equation}   \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{s*r^n}{base^{length(n+1)}} = \frac{1}{P} \end{equation}

Где s — это целое число, полученное из дроби 1/P:

\begin{equation} 	s=[\frac{1}{P}*base^{length}] \end{equation}

Поскольку full reptend prime образуют бесконечную периодическую дробь, мы можем получить из нее числа с количеством цифр от 1 до бесконечности. Ну условно конечно :)

Параметр length означает количество символов, которые будут использованы в числе s, это число может варьироваться от единицы до бесконечности. При каждом новом параметре length мы будем получать новую геометрическую прогрессию.

Число r тоже является целым и представляет собой один из остатков от деления, образованны при вычислении 1/P. Как дробь 1/P будет иметь период P-1, в случае если простое число являетсяfull reptend в исследуемой системе счисления, точно так же количество остатков будет равно P-1.

 Для того, чтобы понять, как образуются остатки от деления, рассмотрим их на примере. Возьмем P= 7, т.к. это первое full reptend в привычной нам десятичной системе счисления.

В итоге мы получили уникальные остатки: [3, 2, 6, 4, 5, 1]. Именно эти значения будут принимать участие в формуле. Первый остаток от деления будет равен base mod P. Каждый последующий остаток будет зависеть от предшествующего, функцию можно записать рекурсивно:

\begin{equation}  \begin{cases}    r_0 = 1 \\    r_n = r_{n-1} * (base\mod P) \\  \end{cases} \end{equation}

Переведем рекурсивную формулу в замкнутую форму:

\begin{equation} r_{length}=base^{length}\mod P \end{equation}

Запишем общую формулу геометрической прогрессии, используя только следующие параметры: P— простое число; base — исследуемая система счисления; length — параметр, определяющий номер геометрической прогрессии для данного простого числа и данной системы счисления.

\begin{equation} \frac{1}{P} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{[\frac{1}{P}*base^{length}]*(base^{length}\mod P)^n}{base^{length(n+1)}} \end{equation}

Приведем формулы для P = 7 c использованием разных s, начиная с самых коротких:

\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1*3^n}{10^{n+1}} \end{equation}

В данной формуле s = 1, это первая цифра из дроби 0,(142857), т.е. параметр length = 1.При этом остаток r = 3, это самый первый остаток, что соответствует параметру length = 1.

\begin{equation} \frac{1}{7} = 0.1 + 0.03 + 0.009 + 0.0027 + 0.00081 + ..  \end{equation}

Каждый следующий член прогрессии получается посредством умножения на 3 и деления на 10. Теперь рассмотрим следующую прогрессию:

\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{14*2^n}{10^{2(n+1)}} \end{equation}\begin{equation} \frac{1}{7} = 0.14 + 0.0028 + 0.000056 + 0.00000112 + .. \end{equation}

В данной формуле каждый следующий член прогрессии получается посредством умножения на 2 и деления на 100. Здесь s = 14, это первые две цифры из дроби 0,(142857), т.е. параметр length = 2. При этом остаток r = 2, это второй остаток, что соответствует параметру length = 2. Есть интересные закономерности, которые можно исследовать связанные с этим, но я приберег это для отдельной статьи, которую я так же обязательно опубликую в том числе на Хабре.

Дальнейшие формулы по аналогии с предшествующими будут получены просто последовательным увеличением значения length на 1:

\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{142*6^n}{10^{3(n+1)}} \end{equation}\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1428*4^n}{10^{4(n+1)}} \end{equation}\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{14285*5^n}{10^{5(n+1)}} \end{equation}\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{142857*1^n}{10^{6(n+1)}} \end{equation}

И наконец мы получаем последовательность, в которой s представляет собой простое число:

\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1428571*3^n}{10^{7(n+1)}} \end{equation}

Собственно когда я факторизировал все возможные s - что к слову представляло для меня интерес по другой причине, я нашел что некоторые из них сами по себе простые. Так собственное я и совершил это небольшое открытие. Но это не всё что мне удалось найти про эти простые числа.

На этом можно отложить рассмотрение дальнейших геометрических прогрессий, однако важно заметить, что их может быть бесконечное множество, так как чисел s для каждого числа P в некоторой системе счисления N — бесконечное множество.

Приведем также в пример несколько сходящихся геометрических прогрессий для P = 17:

\begin{equation} \frac{1}{17} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{5*15^n}{10^{2(n+1)}} \end{equation}\begin{equation} \frac{1}{17} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{58*14^n}{10^{3(n+1)}} \end{equation}\begin{equation} \frac{1}{17} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{588*4^n}{10^{4(n+1)}} \end{equation}

Интересно рассмотреть разложение числа 89 на геометрические прогрессии. 1/89 = 0,0112359.. — можно увидеть, как в первых цифрах дроби наблюдаются числа Фибоначчи. И действительно эту дробь можно разложить не только на сходящуюся геометрическую прогрессию, но и описать формулой с числами Фиббоначи:

\begin{equation} \frac{1}{89} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1*11^n}{10^{2(n+1)}} \end{equation}\begin{equation} \frac{1}{89} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{Fibonacci(n)}{10^{n+1}} \end{equation}

Интересно, что схожее явление можно встретить в другом простом числе — 109.

Формула для этого числа отличается от формулы 1/89 только множителем: (-1)n+1. Этот множитель приводит к тому, что происходит не только суммирование, а чередование суммирования и вычитания разных элементов прогрессии.

\begin{equation} \frac{1}{109} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{9*17^n}{10^{3(n+1)}} \end{equation}\begin{equation} \frac{1}{109} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{Fibonacci(n)*(-1)^{n+1}}{10^{n+1}} \end{equation}

Возможно, существуют и другие разложения периодической дроби, помимо сходящихся геометрических прогрессий и суммирование чисел Фибоначчи.

Образование циклических и суб-циклических простых чисел

Когда мы будем рассматривать разные значения s из формулы геометрической прогрессии, мы заметим, что среди них будут встречаться простые числа.

 Например, для простого числа P = 7, образующего циклическое число 142857, первым простым числом будет 1428571. Далее будет возникать большое количество подобных чисел, для того чтобы рассмотреть все возможное их множество, нужно рассматривать не только геометрические прогрессии 1/P, но и все другие прогрессии из множества 1/P .. P-1/P. Иначе мы могли бы пропустить, например, простое число 71428571.

 Предположительно, в каждой системе счисления таких чисел бесконечное множество. Однако, мне не удалось найти закономерность их возникновения. Возможно, таких чисел ограниченное количество, и если это так, на мой взгляд это было бы даже интересней, но я предполагаю, что их множество бесконечно.

 На самом деле, если мы внимательно рассмотрим параметр s, мы встретим в нем простые числа,которые будут меньше, чем циклическое число, однако будут содержать последовательность цифр из циклического числа. Такие числа можно назвать простыми суб-циклическими числами.

Рассмотрим их на примере P = 7. Если мы будем одновременно рассматривать не только 1/P, но и все другие дроби вплоть до P-1/P, то мы увидим, что среди параметров s встречается множество других простых чисел: 2, 5, 7, 71, 571, 2857, 28571.

В отличие от циклических простых чисел, множество суб-циклических простых чисел всегда ограничено.

Циклические и суб-циклические простые числа могут быть образованы от любого простого числа P в некоторой системе счисления N. Это является следствием того, что каждое простое число может быть full reptend prime в некоторой системе счисления.

Связи между циклическими простыми числами, образованными от одного простого числа в разных системах счисления

Как было сказано ранее, циклическое простое число может быть получено от любого простого числа в некоторых системах счисления. Для каждого конкретного циклического простого числа есть простое число P и система счисления N, с помощью которых было образовано циклическое простое число. Однако циклические простые числа, образованные от одного P, но в разных системах счисления, могут проявлять свойства позволяющие их группировать.

Наконец десерт - это то что мне нравится больше всего:

Однако циклические простые числа, образованные от одного P, но в разных системах счисления, могут проявлять свойства позволяющие их объединять в группы. Например, в десятичной системе счисления мы получаем простые числа из циклического числа 142857. А в 40 системе счисления мы получаем простые числа из циклического числа 5SMYBH (что соответствует последовательности цифр 5, 28, 22, 34, 11, 17).

Однако, если мы возьмем простое число, которое оригинально выглядит как H5SMYBH в 40 системе счисления, и переведем его в десятичную систему счисления, мы увидим некоторую закономерность: 70217142857.

Младшие разряды будут соответствовать процессу образования циклических простых чисел, но в старших разрядах будут отклонения. Если написанное выше было непонятно, я приведу несколько чисел образованных в десятичной системе счисления, и представленных как в десятичной, так и в сороковой.

Вот простые числа в десятичной системе счисления образованные от P=7 N=10:

1) 1428571

2) 71428571

3) 7142857142857

4) 571428571428571

5) 1428571428571428571428571

6) 28571428571428571428571428571

7) 7142857142857142857142857142857

8) 2857142857142857142857142857142857

9) 42857142857142857142857142857142857142857

Те же самые числа представленные в 40 системе счисления:

1) MCYB

2) Ra2YB

3) 13NYIMYBH

4) 277Sb5SMYB

5) 1D8TJS2CYBH5SMYB

6) GP98QAT0SMYBH5SMYB

7) 2NbRO471EIMYBH5SMYBH

8) PdGa11UDOPSMYBH5SMYBH

9) 3WAEQ3OR61AQVH5SMYBH5SMYBH

Пример чисел образованных от P=7 N=10 в сороковой системе счисления:

1) H5SMYBH

2) Следующее число днинное - 77 цифры длиной, оно начинается с 5SMYBH, и повторяется до B:

5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYB

А вот те же самые числа в десятичной системе счисления:

1) 70217142857

Следующее число очень длинное – его циклическая часть содержит 12 полных циклов, и все число целиком занимает 123 числа.

2) 3262280440470765442418939358741703168874849426...

...28571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571

Следующие числа я не привожу из-за их чрезмерной длины, однако закономерности в них сохраняются так же.

Формула для вычисления систем счисления, образующих связи с оригинальной системой счисления для заданного простого числа

Выше мы рассмотрели простое число P = 7 и систему счисления N = 10. Обобщенно формулу для нахождения связанных систем счисления можно записать так:

Ns(i) = N + 3*N*i + ((i + 1) % 2) * i*N*4

Где i — это натуральное число. И i = 0 соответствует первой системе, в которой простое число является full reptend prime. Однако эта формула подходит исключительно для десятичной системы счисления.

Если мы попробуем выписать подобные формулы хотя бы для нескольких других систем счисления, окажется, что их не так легко обобщить.

Формула для N = 3, 10, 17, 31, 38, 59:

Ns(i) = N + 3*N*i + ((i + 1) % 2) * i*N

Формула для N = 5, 19, 26, 33, 47, 61:

Ns(i) = N + N*i + ((i + 1) % 2) * i*5*N

Формула для N = 12:

Ns(i) = N + N*i + ((i + 1) % 2) * i*5*N

N = 40 относится к группе, образованной от N = 10.

Схожее справедливо и для N = 24, она так же образована от N = 12.

Отличие образованных групп заключается в том, что связанные циклические числа начинают образовываться в системах счисления ниже, чем изначальная исследуемая N.

 Например, мы исследуем 40 систему счисления, и мы встретим ее закономерности в десятичной системе счисления. Таким образом, как циклические простые числа, полученные в десятичной си-стеме счисления, проявляют закономерность в 40й, так и циклические простые числа, полученные в 40й системе счисления проявляют закономерности в десятичной системе счисления.

Схожее верно и для 12 и 24 систем счисления. Несмотря на то, что многие системы счисления образуют одинаковые формулы, другие все же отличаются, например 12.

 Итак, есть сами по себе циклические простые числа, они образуются в любой системе счисления,где изначальное простое число является full reptend.

Они могут быть взаимосвязаны с циклическими простыми числами в других системах счисления, при этом некоторые числа имеют связь только с системами счисления выше, другие же имеют и связь с системами счисления ниже, как в случае с 40 и 10 системами счисления.

Можно наблюдать схожую конструкцию для P = 5, есть повторяющиеся коэффициенты относительно первой системы счисления в группе. А в случае с P = 17 все становится намного сложней, видно, что шаги всегда равны base, base*2, base*4, однако их чередование меняется.

Хотя вывести непосредственно формулы сходу для меня оказалось тяжело, есть возможность показать, что от каждого простого числа можно образовывать циклические простые числа имеющие связи между собой в разных системами счисления.

Дополнительные примеры

Примеры циклических простых чисел

Здесь мы рассмотрим несколько простых чисел, от которых будем образовывать циклические простые числа, и несколько систем счисления для каждого из них. Во всех следующих примерах мы будем исследовать только числа длинной до 100 цифр, и иногда будем сокращать их количество, если их будет встречаться существенное количество.

Начнем с первого простого числа P=2, первая система счисления в котором 1/P даёт периодическую дробь с периодом P-1 - троичная. Эта будет периодическая дробь очень простого вида 1/23 = 0.(1)3. Найдём такие простые числа, которые соответствуют reunit'ам в троичной системе счисления.

Здесь как и В результате мы нашли числа 1113, 11111113, 11111111111113, 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111113.

Эти же самые числа в десятичной системе счисления: 13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773.

Если рассмотреть 1/25 = 0.(2)5, то здесь в первых 100 цифрах мы сможем найти одно единственное простое число - 2, которое одинаково записывается в пятеричной и десятеричной системе счисления.

Теперь рассмотрим простое число 3, здесь нас ждёт кое что интересное!

Рассмотрим дробь 1/32 = 0.(01)2: В результате поиска мы находим простые числа: 10, 101. В десятичной системе счисления это числа соответствуют простым числам 2 и 5.

Рассмотрим дробь 2/32 = 0.(10)2: В результате поиска мы находим те же самые числа.

Теперь рассмотрим пятеричную систему счисления, 1/35 = 0.(13)5:

В результате поиска мы находим числа 35, 1315, 3135, 313135, 13131315, 1313131313131313131315. Дальнейшие числа я не стал включать, так как они уже становятся громоздкими. Эти же числа в десятичной системе счисления: 3, 41, 83, 2083, 26041, 158945719401041.

Поскольку 2/35 = 0.(31)5 - мы получим такой же набор чисел.

Данные примеры были получены при помощи небольшой утилиты, которую можно найти на github.

Примеры групп циклических простых чисел

Здесь я приведу несколько примеров групп циклических простых чисел.

Пример #1: Рассмотрим 40 систему счисления. 1/740=0.(5SMYBH)40, от это циклического числа можно получить циклическое простое число H5SMYBH40, если его перевести в десятичную систему счисления мы получим 70217142857. Как можно видеть в младших разрядах сохранилось 7142857, хотя оригинальное число было получено в 40 системе счисления.

Пример #2: Рассмотрим 10 систему счисления. В ней мы получили циклическое простое число 571428571428571. Его представление в 40 системе счисления 1D8TJS2CYBH5SMYB40. Мы можем наблюдать что не смотря на то что циклическое простое число было образованно в десятичной системе счисления, оно содержит YBH5SMYB в младших разрядах, хотя оригинальное число было получено в десятичной системе счисления.

Выводы

Для каждого простого числа, существует бесконечное множество систем счисления, в которых из этого простого числа можно получить циклическое число. От каждого циклического числа можно образовать циклические простые числа. Предположительно каждое из таких множеств бесконечно.

Циклические простые числа образованные от одного простого числа, будут группироваться на основании систем счисления, в которых получены циклические числа. Каждая группа будет состоять из бесконечного числа систем счислений. Внутри одной группы циклических чисел будет сохраняться связь: если циклическое простое число из одной систем счислений группы перевести в другую систему счисления, в новом представлении в нём всё равно сохранится часть, которая будет выглядеть словно мы получили это число не в оригинальной системе счисления, а в той, в которую перевели.

Перечень наблюдений, требующих доказательства или опровержения

Возможно у вас создалась иллюзия что я профессиональный математик, имеющий математическое образование. На самом деле это не так. К моему сожалению мои познания в математике и в частности в Теории Чисел не так и глубоки, однако это не мешает мне испытывать большой трепет к этой дисциплине.

Я уверен что среди читателей Хабра есть профессиональные, настоящие математики. Я был бы безумно рад, если бы они помогли бы мне доказать мои наблюдения и оформить их в качестве теорем.

  • Разложение периодической дроби на бесконечное количество геометрических прогрессий

  • Наличие циклических простых чисел в каждой системе счисления, и то, что их потенциально бесконечное множество

  • Связи между циклическими простыми числами в разных системах счисления, отношение систем к одной группе

Возможность доказать или опровергнуть любые из моих гипотез крайне приветствуется!

Также интересна любая информация, касающаяся full reptend prime или циклических чисел.

Большая часть вычислений и визуализаций была сделана при помощи небольшого самодельного приложения. Его код далек от идеальности, но он помогает изучить закономерности визуально, все доступно на github. Там же можно найти английскую версию статьи.

Светлое будущее

У меня осталось несколько неосвещенных тем, связанных с full reptend prime. Однако их освещение требует дополнительного исследования и написания нового кода для визуализации.

Я надеюсь, что я смогу встретить хотя бы одного человека, кто серьезно заинтересован в этой теме, и тогда я продолжу это исследование с более серьезным отношением.

Большинство из описанных закономерностей, и в частности сами циклические простые и связи между ними в разных системах счисления были открыты мной в марте 2019 года, но работа\семья и другие исследования не позволяли добраться до публикации долгое время.

UPDATE: Я нашёл эндорсмент!

Выражаю огромную благодарность Вадиму Валентиновичу Зудилину, за возможность опубликовать мою работу на arxiv.org! А так же за комментарии которые он мне дал после изучения моей работы. Спасибо Вам огромное, для меня это был очень долгий путь!

Всем большое спасибо за внимание! Надеюсь моя первая статья была не утомительной, впереди ещё несколько и не все они будут о математике.




Комментарии (73):

  1. Tzimie
    /#22993198 / +1

    Интересно, но… Все, что завязано на конкретную систему счисления, так сказать "безблагодатно"))) или, как бы сказал великий Пол Эрдош, not from the BOOK

    • constcut
      /#22993784

      В работе продемонстрированы две системы счисления, десятичная и сороковая, по тому что они переплетаются в особую группу. Числа переведенные из каждой отдельной системы счисления в другую сохраняют циклическую структуру. А так я конечно понимаю вас, к сожалению статья вышла и так очень громоздкой даже с этими двумя системами счисления, но в свою защиту скажу что я выложил код, который позволяет самому посмотреть любую систему счисления, от любого простого числа, а статья — это просто как один из возможных примеров)

      • dvserg
        /#22996662

        Всегда интересовал вопрос, что математические законы исследуются для десятичной системы, и возможно в другой системе тоже могут возникнуть интересные закономерности. У Вас увидел исследование и для других систем. Спасибо )

        • constcut
          /#22997730

          Спасибо большое за тёплый комментарий! Через некоторое время я добавлю ещё несколько примеров, чтобы продемонстрировать эти закономерности более наглядно :)

    • constcut
      /#22994300

      На всякий случай, я ещё раз уточню, все эти закономерности работают во всех системах счисления где простое full reptend! В статье приведён пример только десятичной и сороковой — для удобства восприятия, но есть ссылка на код, который позволяет посмотреть любые)

  2. Tzimie
    /#22993598

    Вообще, легко придумать некое свойство и пересечь его с простыми числами, получив некое подмножество просторых чисел.


    Как правило (не не всегда) такие свойства дают бесконечные подмножества (см например https://en.m.wikipedia.org/wiki/Schinzel%27s_hypothesis_H или числа Мерсена.) — пропала, все это гипотезы


    Куда интереснее:
    Доказать, что придуманное вами подмножество бесконечное
    Или наоборот, придумать нетривиальное свойство, которым обладают лишь конечное количество простых чисел

    • constcut
      /#22993796

      Несомненно, но для меня самым интересным оказалось что этот класс можно образовать от любого простого числа. Т.е. мы можем взять любое простое число — которых бесконечное множество, а потом в любом таком классе существует бесконечное множество систем счисления где мы можем получить циклические числа. И предположительно в каждой из них — существуют бесконечное множество циклических простых чисел) Последнее утверждение мне тяжело доказать, так как я не профессиональный математик, я разработчик, и все находки делать при помощи алгоритмов и визуализации, но я несомненно попытаюсь!

    • constcut
      /#22996364

      Я добавил так же выводы в статью, чтобы повторно отметить что на мой взгляд является самым интересным наблюдением: циклические простые числа образованные от одного простого числа, но в разных системах счисления сохраняют между собой связь структурную связь, которая видна в младших разрядах.

      Но повторюсь — я полностью с вами согласен, самое интересное это привести доказательства. При чем для меня интересно не сколько доказать что это множество бесконечно, признаюсь честно — если удастся доказать что оно конечно, это для меня будет выглядеть даже более интересным!

  3. dlinyj
    /#22993736

    Работа просто восхитительная! Жаль, я никак не могу помочь автору, Но я прекрасно понимаю его поиски и поиск единомышленников. Самое печальное, что как правило, вначале долго приходится идти одному.

    • constcut
      /#22993776

      Спасибо большое за тёплый отзыв! Действительно на этом пути я встретил очень мало единомышленников, и даже эту работу я смог сделать только после того как встретил людей которые отнеслись с уважением к моим поискам) Но по мере того как я начал добавлять данные на OEIS (энциклопедия целочисленных последовательностей) — я встретил много интереса, что тоже было очень приятно. Поиск эндорсера всё ещё продолжается, к сожалению пока что мне никто не ответил, но думаю в течении месяца я потихоньку доберусь до человека сведующего в теме и проявляющего интерес к моей работе)

  4. math_user
    /#22993812 / +3

    Формула для вычисления систем счисления, образующих связи с оригинальной системой счисления для заданного простого числа

    Связи систем счисления очень простые. Систем счисления больших, чем число N просто не нужно привлекать. Всё, что больше N вычисляется на основе систем счисления до N.

    В вашем примере для 7-ки полезных систем счисления 5: 2,3,4,5,6. Из них 3 и 5 с полным периодом (равным N-1). Соответственно, системы счисления с максимальной длинной циклических чисел будут такие: k*N+3 и k*N+5, где k — целое положительное число.

    Конкрентно для системы счисления 10 любые варианты циклических чисел легко вычисляются при наличии разложения числа N-1 на множители. Это же аналогично и для любой другой системы счисления, разумеется, но люди привыкли к десятичной, поэтому и вы тоже выбрали её.

    Ваше направление исследует последствия деления на N для числа, которое является результатом операции деления. Это одно из направлений, в котром следует развивать наше понимание делимости. Но общее направление, включающее и ваше, включает дополнительно исследование остатков, получающихся при делении. Вариации на тему остатков могут быть довольно разнообразынми. Вариации на вашу тему, как мы видим, так же приводят к целому ряду направлений, и скорее всего, приведут к ещё большему количеству после более глубокого изучения, включая изучение уже существующих работ других авторов.

    Вариант с остатками поверхностно описан здесь.

    С точки зрения теории чисел остатки — это конечные поля и все их свойства. Эти свойства и дают мне основание утверждать всё то, что написано выше. Ваше направление движется случайным образом, поэтому в нём присутствуют и поля и ряды и что-то ещё. Для более качественного понимания темы вам нужно глубже понять ряды остатков (поля в терминах теории чисел). А в направлении чисел-результатов деления я и сам не знаю, что вам нужно понять, поскольку не занимался этим направлением. Но знаю одно — все показанные направления суть одно и то же, но с разных сторон. Поэтому сторону с остатками понимать нужно.

    Подобные занятия увлекают, поэтому думаю, что вам будет интересно копать глубже. Результат копания может быть весьма и весьма фундаментально ценным. Хотя гарантий никто не даёт, потому что свойства числел могут довольно долго издеваться над исследователем, который выбрал не то направление исследования. А какое из них «то» никто не знает.

    • constcut
      /#22993844 / +1

      Огромное спасибо за такой ценный комментарий! Действительно для каждого простого числа P имеет смысл только первые P-1 систем счисления, далее происходит повторение длин периодов для числа 1/P, я не написал об этом потому что старался изо всех сил сократить изначально раздутую работу. Единственное что меня привлекло в более высоких системах счисления, это то что они образуют группы, как например десятичная и сороковая.

      Как вы верно ответили мое направление движется случайным образом, долгое время для меня это был перечень тем, только сегодня я разделил их на отдельные статьи, общее количество которых насчитывает 9, и данная работа охватила только 2 из них. Я очень благодарен вам за предложение мне направления которое можно дальше изучать! Признаться честно — вы первый человек кто даёт мне чёткое направление в котором я могу продолжить исследование, спасибо вам большое!

  5. 1eqinfinity
    /#22993876

    Наконец-то опубликовал :) Поздравляю! :)

    • constcut
      /#22993882

      Спасибо тебе большое! :) Если бы ты не помог мне проверить английскую версию, и не предложил помимо английской сделать ещё русскоязычную для Хабра — этого могло бы не случиться никогда)

      • 1eqinfinity
        /#22993898

        Думаю, рано или поздно все равно опубликовал бы :) Лан, не буду флудить :)

  6. Gremlin92
    /#22994152

    А какой практический смысл, польза и где применять все это?

    • constcut
      /#22994278

      Для меня это довольно сложный вопрос, так как я приступал не к решению какой-то практической задачи, а пытался объяснить чем обусловлено «волшебство» циклических чисел.

      Есть одно свойство, которое я не описал здесь подробно, только приложил картинку (о точках вхождения в сумму элементов геометрической прогрессии): там была найдена структура чем-то напоминавшая множество цифр числа пи, т.е. бесконечная последовательность без явной закономерности, но с ограниченным количеством уникальных элементов. Правда она была немного интересней чем просто цифры в числе пи, так как образовывала последовательность из 7 музыкальных ладов (да я знаю это звучит странно, но там были структурно именно европейские музыкальные лады, вроде ионийского\миксолидийского\дорийского\локрийского) + ещё одного «особого». И потом это образовывало 8 групп таких последовательностей. И они образовывали 8 над-групп. Дальше я сдался считать, потому что эти расчёты были сделаны на очень больших целых числах, последние члены геометрической прогрессии преобразованные в целые числа занимали до миллиона цифр. Т.е. это вычислимая закономерность, которую мне не удалось привести к закрытой форме, и вероятно это невозможно, если это так — тогда следующий вывод верен:

      Я предполагаю что это свойство, как и генерацию крупных простых чисел можно было бы использовать в криптографии.

      Ну и как бы это не было смешно звучащим — это приложимо к музыке, так как последовательность гамм которые образуются модулируются между собой очень гармонично) В одной из следующих статей я хочу это осветить, и приложить сонификации, не уверен что это будет по настоящему полезно, но по крайней мере интересно :)

      • darksimpson
        /#22995156

        Мне почему-то интуитивно и наивно кажется, что вы подвезли класс слабых чисел для использования в криптографии на эпилептических кривульках. Но я, к сожалению, не настоящий сварщик, поэтому могу ляпнуть фигню :(

        • constcut
          /#22995248

          Я понимаю вас, я не делаю большую ставку в данном вопросе именно на простые числа. Как раз мне кажется применима больше другая закономерность, о которой я только мелком упомянул в статье, но более подробно описав её в комментарии. Но я собираюсь в последствии написать отдельную статью, не могу гарантировать что этот материал найдёт применение в криптографии, но как минимум он любопытен для изучения! :)

          • darksimpson
            /#22995470

            Что ж. Я, в том числе и как тоже музыкант, буду ждать с нетерпением ) Спасибо!

  7. dr_vadim
    /#22994466

    Интересный материал, изучил на одном дыхании.

    По поводу публикации на arxiv.org. Мне кажется, что можно включить в свой текст ссылки на работы тех авторов, которых потом попробовать попросить дать endorcement. Очень возможно, что за такое они с радостью согласятся. ;-))

    • constcut
      /#22994596

      Спасибо большое за теплый отзыв и за совет! Я внимательно посмотрел ещё раз, и нашел несколько потенциальных авторов. Моя ошибка в прошлый раз была в том, что я искал тему которую считал самой крупной: «full reptend prime». Но куда эффективней оказалось искать именно по циклическим числам :)

  8. Shkaff
    /#22994622 / +1

    Интересная работа!

    Насчет эндорсмента: я бы искал на архиве просто по категории и пробовал аспирантов/постдоков — от них гораздо выше шанс получить эндорсмент (просто они гораздо реже получают такие запросы).

    • constcut
      /#22994754

      Спасибо большое за позитивный комментарий и совет! Я пока что искал только среди тех авторов, чьи темы были мне понятны, и даже не пытался обращаться к людям, чьи публикации мне совсем непонятны :) Хотя действительно, более взрослые математики скорее всего получают больше запросов эндорсмента, и так же наверное более заняты работой\семьёй.

      • Shkaff
        /#22994922

        Мне кажется, что эндорсмент — это чисто техническая вещь, чтобы отсеивать чистый спам. Поэтому вполне можно просить просто более случайных авторов.

        • constcut
          /#22995270

          Согласен! У меня была иллюзия что английская статья, которую я прикладывал к письмам, привлечет внимание людей достаточно быстро. Я старался не писать больше чем одному человеку в день, но за неделю результата не последовало.
          Я сейчас заканчиваю код который необходим для того чтобы опубликовать правильно последовательности простых чисел на OEIS. За одно — расширю немного эту статью, чтобы привести примеры из других систем счисления и для других простых чисел, и после этого займусь повторным поиском эндорсера, думаю с таким подходом это удастся сделать сравнительно быстро :)

          • Shkaff
            /#22995316 / +1

            Я бы писал сразу многим одновременно;) На самом деле, писем с просьбой посмотреть статью любой профессор получает десятками, и на них просто нереально отвечать. Так что нужен кто-то, у кого больше времени (или кто-то малоизвестный).

            Можно попробовать зайти через какую-нибудь конференцию (это в любом случае полезно) — сейчас в онлайн формате гораздо проще попасть на специальную. Там можно и обсудить, и найти спецов, которые подскажут по теме и заэндорсят. Еще можно попробовать на реддит прийти — там в тематических сабреддитах иногда очень неглупые обсуждения получаются.

            • constcut
              /#22995498

              Я согласен что писать по одному было крайностью, но команда технической поддержки arxiv деликатно мне сказала, что лучше сразу многим не писать — я воспринял их слова слишком близко к сердцу :)

              Спасибо, это всё очень ценные советы, я обязательно ими воспользовались!

              Только что закончил писать код: сделал консольную утилиту которая способна находить циклические простые числа от заданного циклического числа, вместо full reptend prime как было раньше + мелочи нужные для OEIS, которые впрочем тоже открывают немного дополнительных закономерностей)

              Завтра после рефакторинга опубликую код в отдельной репе на github, и как только дополню update'ом эту статью и выложу пару последовательностей на OEIS — займусь применением всех советов из комментариев на практике, думаю в этот раз результат действительно не заставит себя ждать долго :)

  9. mphys
    /#22995222 / +1

    На dxdy.ru опубликуйте, там публика более продвинутая, может и по теме чего нибудь напишут

    • constcut
      /#22995252

      Спасибо большое за совет! Я не был знаком с этим ресурсом, обязательно сделаю там публикацию.

    • Refridgerator
      /#23000398 / +2

      Забавно, но судя ко комментариям, публика на хабре оказалась таки намного более продвинутой…

      • Shkaff
        /#23001288 / +1

        Типичный dxdy?\_(?)_/? Там одни старперы с синдромом вахтера сидят, врагу не посоветую там что-то свое постить…

        • constcut
          /#23001472 / +1

          Да, я если честно в один момент даже очень расстроился. Но потом подумал что если человек не смог понять основное понятие, которое понял каждый человек которому я присылал мою работу, даже далекий от математики — и это был почти единственный кто мне там ответил, значит искать мне там нечего :)

          Ну и самое главное, я получил эндорсмент от очень хорошего человека, имеющего серьёзные достижения в области теории чисел, на этом можно сказать основная цель этой публикации достигнута!

          • alan008
            /#23001894

            Можно попробовать опубликовать это на reddit (на английском), но надо искать подходящий сабреддит (тематику). Нужны эксперты по reddit, я там только читаю, никогда не публиковал ничего.

  10. vics001
    /#22995478

    Тоже увлекался перестановками чисел 1/7 (0.1428571), 2/7 (...), 6/7. Долго думал, что это за магия, потом понял, что это вытекает из Малой теоремы Ферма, т.е. числа 10 и 7 взаимнопростые и (10)^6 =1 (mod 7), но для того, чтобы повторилась магия с зацикливанием надо, чтобы 10^X = 1 (mod P), X = P — 1 было минимальным числом. Примеры:


    Для 10-чной системы, такой магией обладают числа: 7, 17, 19, 29, 47, 59, 61, 97.
    Для 5-чной системы, такой магией обладают числа: 3, 7, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 73, 83, 97


    Как в принципе и было приведено в статье в таблице. Больше всего, конечно, удивляет, что практические для любой системы счисления, существует одно число меньше самой системы исчисления.


    Что касается, дальнейшего анализа, так и непонятно к чему мы пришли, к тому что в таких последовательностях встречаются простые числа? Так может стоит проанализировать любые последовательности, мне кажется в них тоже будет бесконечно много простых чисел, так же как в арифметических последовательностях (теорема Дирихле).


    Что касается геометрических последовательностей, то это можно формализовать и доказать, вроде как паттерн в них виден.


    Что касается чисел Фибоначчи, то тут надо копать в реккурентные формулы, это как раз неочевидно, почему именно 89 и 109.


    В общем, мне кажется, вывод получился размыт и непонятен. Много всего, но тезисы ускользают.

    • vics001
      /#22995486

      Доказательство для чисел Фибонначчи из 1994г. http://www2.math.ou.edu/~dmccullough/teaching/miscellanea/miner.html. На основе такой технике можно доказать, что "число-89" будет существовать в любой системе исчислений

      • constcut
        /#22995502

        Спасибо большое, я не видел этого доказательства раньше!

    • constcut
      /#22995538

      Мой основной вывод вышел такой: циклические простые числа, которые можно получить от любого простого числа в нужной системе счисления, которых бесконечное множество, будут образовывать группы систем счисления. В этих группах систем счисления будет сохраняться частично паттерн циклического числа, т.е. например если мы получаем число в 40ой системе счисления от 1/7, оно будет содержать 6 цифр периода 5SMYBH (что соответствует последовательности цифр 5, 28, 22, 34, 11, 17) — однако если мы переведём это число из 40й системы счисления в десятичную, мы в конце каждого такого простого числа увидим 142857, что довольно интересно, ведь число было изначально получено при помощи паттерна из 40й системы счисления 5SMYBH. Именно эта связь между циклическими простыми числами, образованными от одного и того же простого, в данном случае P=7, но в разных системах счисления, в данном случае 10 и 40 (следующая будет 80, эта группа содержит бесконечное количество систем счисления, не только 10, 40, 80, я описал её формулой в статье) — показалась мне наиболее интересным их свойством, заслуживающим внимания!

  11. ARechitsky
    /#22995642

    Пара технических замечаний:
    1. Для знакопеременных рядов обычно используют множитель (-1)^n или (-1)^(n+1), а не 2*(n%2) - 1.
    2. Оператор взятия остатка "%" имеет тот же приоритет, что деление/умножение, (i + 1 % 2) — не имеет смысла. Возможно и здесь стоит переделать на (-1)^i, не уверен.

    • constcut
      /#22996280 / +1

      Спасибо большое за комментарий! Сделал исправления, во втором случае добавил скобки. Там немного отличается операция, происходит не просто чередование знака, а чередование множителей 1 и 0, т.е. через раз элемент суммируется, а иногда просто пропускается. Когда закончу дополнять статью новыми примерами — внимательно изучу этот участок, возможно его удастся переписать более удачно, но сходу у меня это не получается сделать.

      • ARechitsky
        /#22997522 / +1

        2. Это просто, (1+(-1)^n)/2. Тогда получится что-то вроде
        Ns(i) = N + 3*N*i + ((i + 1) % 2) * i*N => Ns(i) = N + N*i*(7+(-1)^i)/2.
        Но тут я не уверен что это более удачно :)

        • constcut
          /#22997584

          Спасибо, мне кажется лаконичные формулы всегда более красивые :)
          Немного передохну и исправлю формулы! Последние сутки все время занят статьёй и дополнительным кодом для новых примеров, встретил недопонимание в первом же комментарии, написал автору чтобы убедиться что он не разобрался в статье, и сейчас приведу немного дополнительных примеров, потом передохну, исправлю формулы и… приведу ещё немного примеров :)

  12. domix32
    /#22996748

    А пробовали уже в ваши формулы вставлять всякую дичь? e, pi, phi, комплексные числа и вот это вот все?

    • constcut
      /#22997570

      Нет, признаю честно даже пока что мысли не приходило! Спасибо за идею!

  13. Dima9Mitrinovskiy
    /#22997566

    Классная статья, очень интересно

    • constcut
      /#22997572

      Спасибо большое за тёплый комментарий!

  14. constcut
    /#22997720 / +2

    Я хочу выразить огромную благодарность всем прочитавшим статью и оставившим комментарии!

    Я получил большое количество ценных советов, всеми из которых я несомненно собираюсь воспользоваться.

    UPDATE: я добавил в статью два раздела «Дополнительные примеры» и «Выводы». Чтобы показать что простые числа Мерсена являются подмножество циклических простых чисел, а так же устранить заблуждение возникшее в первом комментарии.

    Я ещё не успел привести все примеры которые я хотел, а так же выложить более лаконичную версию приложения на github, чтобы любой желающий смог легче изучить закономерности и осуществить поиск циклических чисел в интересующей системе счисления, с использованием интересующего простого или циклического числа.

    Последние сутки я провёл за редактированием статьи и написанием нового лаконичного кода, прерываясь только на сон и еду. Сейчас я немного передохну, и после этого закончу начатое: добавлю ещё несколько примеров в раздел «Дополнительные примеры» и выложу код консольного приложения на github. Это приложение лучше того, что уже выложено тем что его код очень короткий, меньше 150 строчек кода, однако позволяет искать закономерности не только от full reptend prime, но и от любых циклических чисел.

    Ещё раз огромное спасибо всем прочитавшим статью и давшим мне ценные советы! Это самое большое количество общения на заинтересовавшую меня тему, которое я получил за несколько лет. Я очень ценю это!

    • constcut
      /#22999744

      Хочу премного извиниться, перед всеми кто прочитал про числа Мерсена, их действительно можно получить при помощи того кода который я написал, но их связь с циклическими простыми числами несколько притянута за уши. Я допустил ошибку в коде, и сейчас перепроверяя его перед публикацией нашёл её. Сделал соответствующие исправления в статье. И так же выложил код который позволяет исследовать самому — он добавлен внизу раздела «Дополнительные примеры». Если у кого-то возникнут вопросы — обращайтесь в личные сообщения, буду рад общению на тему циклических простых чисел!

  15. constcut
    /#22999762 / +1

    УРА! Я получил эндорсмент!

    Огромное спасибо Вадиму Валентиновичу Зудилину!

    «Your article is currently scheduled to be announced at Thu, 6 May 2021 00:00:00 GMT.
    Updates before Wed, 5 May 2021 18:00:00 GMT will
    not delay announcement.»

    Ссылка на англоязычную версию: github.com/constcut/cyclicprime/raw/main/paper/cyclic_prime_numbers.pdf

    Как только публикация появится на arxiv.org — я добавлю ссылку в эту статью!
    Цель достигнута, теперь можно немного отдохнуть перед новой статьёй :)

  16. Refridgerator
    /#23000470

    Я не совсем понял — циклическое число обязательно должно быть простым? Если да — то как это связано с отсутствием множителей у простого числа? Если нет — то почему вы рассматриваете только простые числа, чем они в контексте рассматриваемого вопроса отличаются от всех прочих числовых последовательностей?

    • constcut
      /#23000522

      Нет, циклическое число это термин который существует давно, и оно всегда не простое: ссылка

      Я рассматриваю класс простых чисел, который опирается на циклические числа, из-за интересной закономерности, которая проявляется между разными системами счислениях.

      Т.е. ещё раз — сами циклические числа всегда не являются простыми. Но от них можно образовать простые числа — которые являются темой этой статьи. И так же в этих образованных простых числах из разных систем счисления наблюдаются закономерности которые позволяют их группировать.

      • Refridgerator
        /#23000602

        Тогда получается прямо наоборот — это не новый класс простых чисел, а подмножество простых чисел среди всех циклических.

        • constcut
          /#23001368

          Ещё раз повторюсь: среди циклических чисел не существуют простых.

          Потому никакое простое число не может быть подмножеством циклических чисел.

          • Refridgerator
            /#23001820

            Тогда очевидно словосочетание «циклическое простое число», которое повсеместно встречается в статье, не является корректным и вводит читателя в заблуждение. И в википедии про Full reptend prime тоже пишут что «Sloane's OEIS refers to these primes as „cyclic numbers“. Я после вашего комментария ещё больше запутался, что к чему. И вопрос был был не к самому определению „циклическое число“, а к тем свойствам, по которым вы эти простые числа и группируете: могут ли по этим же самым свойствам группироваться другие числа, не простые? Если не могут — тогда должна быть явным образом прописана утверждающая это теорема с доказательством. Например, среди чисел Мерсенна есть простые, однако их множество не называют „новый класс простых чисел“.

            (Это не критика и не претензии, это просто взгляд со стороны человека со школьным уровнем математики)

            • constcut
              /#23002012

              Ага, я хорошо понимаю Вас, сейчас поясню ход моего мышления.

              Когда я нашёл эти простые числа я некоторое время думал как удобнее всего их назвать. Изначально они найдены в ходе исследования full reptend prime, и имели визуальное отношение к циклическим числам.

              Одним из самых известных циклических чисел является 142857, первым простым числом найденным мной было 1428571. В структуре этих простых чисел была видна структура циклических чисел.

              Далее я размышлял так: любой человек который знает что такое циклическое число, и что такое простое число, как только увидит примеры найденные мной легко сможет их связать ассоциативно.

              Поскольку циклические числа не бывают простыми, я подумал что сочетание «циклическое простое» — которое как я проверил ещё не использовалось, будет давать отсылку как к циклическим числам, от которых циклические простые образованны, так и давать понять что они являются простыми числами.

              Т.е. когда я придумывал это название я подразумевал что человек кто будет их изучать будет знаком с циклическими числами, или хотя бы начав гуглить «cyclic prime numbers» — натолкнется на определение циклического числа и поймёт как говорится где собака зарыта. По это причине я начинал статью с того что дал определение циклического числа.

              Почему это является отдельным классом: как было показано в статье такие числа образуют группы, и будучи образованными от одного и того же full reptend prime, но в разных системах счисления — имеют хотя бы частичную структуру циклического числа, причем в каждой из этих систем счисления, а в одной из них эта структура будет скажем так «идеальной».

              Я надеюсь это объяснение немного помогает понять название и почему я выделяю эти простые числа в отдельный класс, а не просто в подмножество простых чисел.

              Я извиняюсь — но я в ближайший день не смогу отвечать на комментарии, мне нужно провести время с детьми. Если ещё вдруг останутся вопросы — смело их задавайте, я обязательно на них отвечу завтра!

              • Refridgerator
                /#23002526 / -1

                Ну раз и те, и те «циклические» числа объединяет какая-то общая идея — разве нельзя эту идею описать не на словах, а чисто математически, формулой, чтобы в зависимости от параметров получать либо те, либо ваши, либо какие-то ещё «циклические» числа? Потому что если идею нельзя описать строго математически, то и к математике она относиться не может. Даже свои циклические простые числа вы вводите без их строгого определения, и первое их упоминание в статье это

                Первым циклическим простым числом, образованным от 142857, является 1428571, это число простое
                из которого вообще непонятно, зачем и почему мы 142857 умножили на 10 и прибавили 1.

                • constcut
                  /#23003136

                  Вы точно читали статью целиком?

                  Обратите внимание на раздел «Представление периодической дроби в форме сходящейся геометрической прогрессии»:

                  Где s — это целое число, полученное из дроби 1/P


                  Проследите пожалуйста после этого диапазон формул, начиная от

                  Приведем формулы для P = 7 c использованием разных s, начиная с самых коротких


                  И заканчивая

                  И наконец мы получаем последовательность, в которой s представляет собой простое число


                  Там есть ответ на ваши вопросы?

                  На всякий случай, если возникает недопонимание даже после этого участка, можно вернуться назад, к

                  Для того, чтобы рассмотреть, как возникают циклические простые числа, нам нужно также рассмотреть, как возникают циклические числа.


                  И просмотреть весь раздел «Свойства простых чисел в зависимости от системы счисления. Full reptend prime»

                  Я уверен если вы сделаете это внимательно у вас будет четкое представление о том, что циклические числа и циклические простые числа объединяет тема разложения рациональной дроби 1/P в сходящуюся геометрическую прогрессию, где P — full reptend prime.

                  Повествование статьи построено от простого к сложному, но как можно заметить, математика в ней не выходит за программу школьного курса. Самое сложное — это системы счисления, это программа 9ого класса. Простые числа — программа 5ого класса. Геометрические прогрессии это программа 9ого класса. Соответственно вся математика необходимая чтобы понять статью изучается до 9ого класса.

                  Я расположил материал так, чтобы его было просто читать, но при этом и возникал интерес, в виде вопросов, ответы на которые даются в ходе развития статьи. Мне лично кажется что я сделал это достаточно удачным образом.

                  Пожалуйста старайтесь изучать материал внимательно, в ваших сообщениях отчетливо прослеживается желание спорить и обвинять, но вы даже не удосужились внимательно прочитать материал.

                  Я ещё раз повторюсь, все ответы на ваши вопросы есть в статье, при внимательном прочтении их не возникает. Вы должны были заподозрить, что что-то неладно, когда вы первый начали задавать эти вопросы.

                  Что меня искренне удивляет в вас, это уверенность с которой вы говорите. Если вы внимательно прочитаете череду комментариев то сможете увидеть, что сразу же за моими ответами вы делаете вывод, которого не может быть, если вы прочли комментарий внимательно.

                  Я пришёл к выводу что ваша основная задача была не понять материал, а начать спор, на этом сообщении я этот спор завершаю.

                  • Refridgerator
                    /#23003296

                    Смысл статьи в общем от меня всё ещё ускользает, и хотя отдельные положения вроде бы и понятны, но всё равно вызывают вопросы. Надеюсь, вы проявите терпение и понимание того, что их возникновение вызвано лишь недостаточным уровнем знания у вопрошающего.

                    Вот например, вы рассматриваете представление периодической дроби в форме сходящейся геометрической прогрессии. Однако это представление является просто математическим описанием непосредственно самой периодической дроби и значения числителя и знаменателя той дроби, к которому сходится эта прогрессия, из такой формы записи вообще неочевидны. Есть какая-то причина, по которой вы рассматриваете именно бесконечную сумму? Потому что при записи через цепную дробь мы получим конечное число элементов, которое легко упростится до конкретного рационального числа.

                    Далее вы переходите к числам Фиббоначи, называя это «разложением», и здесь мне тоже видится некорректность формулировки. Разложением это было бы — если бы из произвольного числа получался ряд из элементов с числами Фибонначи в числителе. А так больше похоже, что вы просто просто просуммировали конкретный ряд и поменяли местами левую и правую часть равенства. Я тоже так могу

                    но не совсем понимаю, какие далекоидущие выводы из этого можно сделать и какое это отношение имеет к рассматриваемому вопросу.

                    P.S. Мне бы хотелось избежать переходов на личности при обсуждении. Существуют вполне определённые стандарты при написании математических статей, и в вашей действительно нет ни строгого определения, ни сопутствующих теорем. Я даже посмотрел английский вариант — но там всё то же самое. К тому же, не обязательно же отвечать именно вам, как автору статьи — это может сделать и кто-то другой, кто лучше меня понял содержание.

                    • constcut
                      /#23003588

                      Пожалуйста не сочтите что я перехожу на личности, но я честно почувствовал в ваших словах желание оспаривать корректность этой работы. Я не ставлю под сомнение ваше утверждение что эта работа не выглядит профессиональной работой математика, я об этом говорю сам, и как раз надеялся встретить здесь людей кто понимает в математике больше чем я, и к моему счастью так и произошло.

                      Если вам не сложно, мы можем созвониться в зуме или телеграме, я думаю нам проще будет проговорить голосом всё — вполне вероятно вы знаете и понимаете что-то, что я не понимаю совсем, так как я например не могу понять ваши формулы, как вы их получили, и я был бы очень рад если вы поговорили со мной об этом.

                      Я постараюсь ответить на все ваши вопросы, и надеюсь вы не будете против моих вопросов, но мне это даётся очень тяжело отвечать в тексте, я очень нехорошо себя чувствую, что является следствием очень интенсивной работы последние дни.

                      Геометрические прогрессии были найдены мной просто визуально. Я смотрел на периодическую дробь 0.(142857) и задавался вопросом, каким образом она сохраняет свойство циклических перестановок. Т.е. она как бы являлась циклическим числом, но на самом деле интересней, ведь у неё есть бесконечное множество цифр, и все они синхронно осуществляют эту перестановку. Я пытался понять как это может происходить.

                      В один момент я увидел, исключительно визуально, что внутри неё словно проглядывает арифметическая прогрессия 14, 28, 56. Только последняя цифра не сходилась. И в какой-то момент меня осенило — недостающая единица берётся из следующего элемента 112. Т.е. за тем как я это увидел не стояло абсолютно никакого математического аппарата. Далее я так же пристально пытался понять какие закономерности из этого следуют, об одной из них я собираюсь написать следующую статью, и следом я точно так же увидел, что там есть другая прогрессия, 1 + 3 + 9 + 27. На этом этапе мне стало очень интересно, а нет ли каких либо ещё. Вначале я нашёл все 6, не сразу смог описать это формулой. И лишь спустя продолжительное время, когда я описал это формулой — мне стало любопытно, а что если попробовать подставить другие значения, не только 1, 14, 142, 1428, 14285, 142857. И это сработало. И прошло больше полу года, когда я исследовал все элементы своих наработок при помощи факторизации на простые числа, а так же нумерологической редукции. В отношении последней не подумайте что это гадание на кофейной гущи, у этой операции есть математическое значение, хотя и очень сложно применимое в обычной жизни. И вот случайно я увидел что в множестве чисел, которые участвовали в формировании геометрической прогрессии — простые. Это показалось интересно, я пробежал на большой дистанции — и нашёл многие из них. Тогда я уже знал что периодические дроби с длиной периода 6 можно получить не только в десятичной системе счисления, но и в многих других. И вот дальше случилась ещё одна случайность. Когда я сделал поиск по разным системам счисления, я увидел что простое число из сороковой системы счисления, переведенное в десятичную имеет хвостик 142857. Провёл ещё эксперименты — и увидел что это группировка справедлива не только для десятичной и сороковой системы счисления, а так же в целом не только для простого числа 7.

                      Потому как говорит заголовок этого поста, это класс простых чисел который я нашёл случайно. Я не пытался сделать вид что я профессиональный математик, к сожалению я таким не являюсь, я с большим уважением отношусь к математике и с интересом изучаю её, но как я написал неоднократно — это открытие возникло на сочетании любопытства и случайности.

                      Точно так же я нашёл и ряды с Фиббоначи. Исключительно визуально, своими глазами. Все формулы которые есть в статье были выведены после, изначально я просто буквально что-то увидел, и пытался это описать.

                      • Refridgerator
                        /#23003854 / +1

                        Поймите и Вы меня правильно. На хабре регулярно появляются статьи, в которых их авторы делают величайшие открытия, решают проблемы тысячелетия, доказывают теорему Ферма, факторизуют большие числа и всё такое. Однако чаще все эти величайшие открытия оказываются выдачей желаемого за действительное и зарубежным математическим сообществом не признаются. И на архив.орг таких статей тоже навалом. Поэтому изначально скептическое отношение к настолько громким заявлениям — это совершенно нормально. Хабр этим и ценен, что тут можно получить хоть какую-то обратную связь — вы сами видели, что на dxdy никто даже пытаться не стал вникать в суть.

                        • constcut
                          /#23003906

                          Спасибо за пояснение! Я согласен с вами, такая критика важна, я просто стал уже немного выгорать, потому что непрерывно работал вокруг статьи и сопровождающего кода последние дни и много отвечал на комментарии, как на Хабре, так и многим знакомым, как следствие сильно истощился. Но при этом не мог оставить такие комментарии открытыми. Видимо сказывается что это мой первый пост и я слишком лично это воспринимаю ещё.

                          Мне сложно было поддерживать диалог дальше, потому что у меня сложилось мнение что я уже изложил все тезисы, но судя по всему это было просто моё заблуждение.

                          Я искренне очень рад буду пообщаться в формате видео чата, уверен вы мне сможете рассказать много интересного, и я с радостью отвечу на любые вопросы. Если будет время и желание — напишите мне!

                    • constcut
                      /#23003726

                      Я надеюсь я не обидел вас, и я буду очень рад поговорить с вами голосом или с видео, я скинул свой телеграм вам в личные сообщения. Пишите в любое время, когда я буду свободен я отвечу и можно будет договориться о том чтобы созвониться!

                    • constcut
                      /#23004306

                      image

                      Спасибо за наводку! Я изучил вопрос внимательно — для того чтобы получить подобную сумму ряда, нужно чтобы в знаменателе было одно из чисел последовательности. Если в знаменателе подправить формулу на n + 1, то иногда получатся рациональные числа 1/X. Некоторые из X простые, но не все.

                      Так же я внимательно исследовал влияние множителя (-1)^(n+1): он просто смещает индекс числа из последовательности выше, как можно видеть 89 и 109 находятся рядом.

                      Как вы верно заметили это не имеет абсолютной связи с full reptend prime, но на мой взгляд это довольно любопытно :)

                      • Refridgerator
                        /#23004338 / +2

                        Ну вот, а мне не пришло в голову рассмотреть последовательности знаменателей и поискать их в OEIS) В знаменателе подправить формулу можно не только на n+1, но и на n+m, и Вольфрам тоже найдёт для неё обобщённое решение.

                      • Refridgerator
                        /#23004410 / +2

                        Влияние множителя (-1)^(n+1) просто раскладывает результат на разницу из двух рядов Фиббоначи — с чётными и нечётными элементами соответственно.

                        • constcut
                          /#23004450

                          Я понимаю что подобное не слишком применимо в жизни, но я нахожу это очень любопытным :) По крайней мере я очень поднял себе настроение пока с этим немного поковырялся!

                          У меня неловкий вопрос: можете мне пожалуйста подсказать какой именно ссылкой вы пользовались (или это платная версия?), потому что я просто исследовал ряды на сходимость, и с переменной x получить решение не удалось :)

                          • Refridgerator
                            /#23004530 / +1

                            С ссылкой на что именно? Платную версию Вольфрама я приобрёл только для того, чтобы поддержать разработчиков — однако (условно) бесплатный его вариант есть на рутрекере без каких-либо функциональных ограничений. Вольфрам умеет находить аналитические суммы бесконечных рядов. Он вообще много что умеет), и вообще из справки из Вольфрама я узнал много больше чем от преподавателей ВУЗа.

                            • constcut
                              /#23005010

                              Я думал что возможно инструмент для решения доступен в бесплатной онлайн версии, так же как инструмент для исследования сходимости рядов. Согласен что это очень интересный и полезный инструмент, позже последую вашему примеру.