Как с помощью циркуля и линейки находить корни, квадраты и обратные величины чисел +42


AliExpress RU&CIS

Представьте, что у вас нет под рукой калькулятора (но есть циркуль и линейка или угольник) и вам нужно посчитать результат в виде отрезка. Задача решается за менее чем 5 простых шагов.

Базовая формула вычисления

Для начала докажем одну формулу, которая нам будет помогать с дальнейшим решением.

В прямоугольном треугольнике ABC проведем высоту h на сторону C. По теореме Пифагора выводим:

C^2 = A^2 + B^2A^2 = h^2 + a^2B^2 = h^2 + b^2C = a + b

Подставляем всё в первую формулу:

(a + b)^2 = h^2 + a^2 + h^2 + b^2

И если раскрыть скобки:

a^2 + 2ab + b^2 = 2h^2 + a^2 + b^2

После сокращения получаем:

ab = h^2

Вот с помощью этой формулы и будем выводить наши решения.

Единичная мера длины

Так как мы вычисления проводим на плоскости с отрезками, нам необходимо определиться с мерой единичной длины равной 1. Если мы отложим отрезок 1 дециметр, то он так же будет равен 10 сантиметрам, 100 миллиметрам или 4 дюймам. Один отрезок и 4 разных чисел разной меры длины его определяют. Что бы выбрать одну систему счисления длин отрезков, примем за единицу длины какой-то отрезок. Какой - определим по ходу расчетов, и он зафиксирует нужную меру длины.

Циркуль как универсальный инструмент

Циркуль удобно использовать как средство:

  • отмерить отрезок определенной длины, при этом знать величину этой длины совершенно нет надобности.

  • прочертить дугу на одинаковом расстоянии от определённой точки.

  • отложить перпендикуляр к линии через определённую точку. Для этой цели удобнее использовать угольник с прямым углом, чем циркулем чертить 4 дуги.

Вычисление квадрата длины

Для вычисления квадрата величины X используем нашу формулу в виде:

a = 1, h = X, b = X^2

Чертим прямую линию достаточной длины.

Откладываем на ней отрезок единичной длины.

От правого конца единичного отрезка 1 откладываем вверх перпендикуляр длиной X.

Проводим линию от левого конца единичного отрезка 1 до верхнего конца отрезка X.

От этого отрезка откладываем перпендикуляр на линию продолжения единичного отрезка 1. Их пересечение и есть правый край квадрата длины. Левый край начинается от точки, где отложена высота.

Пример. У вас есть какой-то квадрат, со стороной X, начерченный на плоскости или на земле. Нужно узнать его площадь в попугаях. Одна сторона квадрата длиной X у нас уже есть. На соседней стороне откладываем длину одного попугая (там где 1 находится). Соединяем концы линией, откладываем перпендикуляр, продлеваем отрезок с попугаями до перпендикуляра и получаем решение в квадратных попугаях.

Вычисление квадратного корня длины

Для вычисления квадратного корня величины используем нашу формулу в виде:

a = 1, b = X, h = sqrt(X)

Чертим прямую линию достаточной длины.

Откладываем на ней единичный отрезок длины 1.

На продолжении единичного отрезка откладываем отрезок длины X.

Полученный отрезок 1+X делим пополам с помощью циркуля и получаем точку O. Как это сделать, приводить здесь не буду, это задачка из школьного курса. Обозначим длину найденной половины как R.

Вокруг центра O, циркулем нарисуем дугу радиусом R.

От правого конца отрезка 1 отложим вверх перпендикуляр до пересечения с дугой окружности. Длина этого перпендикуляра и будет равна корню квадратному из длины X.

Вычисление обратной величины длины

Для вычисления обратной величины длины используем нашу формулу в виде:

h = 1, a = X, b = 1 / X

Решение очень похоже на нахождение квадрата величины, только a и h меняются местами.

Чертим прямую линию достаточной длины.

Откладываем на ней отрезок длины X.

От правого края отрезка X откладываем вверх перпендикуляр единичной длины 1.

Соединяем концы отрезков линией.

От верхнего конца отрезка X откладываем перпендикуляр к линии продолжения отрезка 1. Полученный отрезок и есть решение.

Выводы

Приведенные выкладки удобны, когда не хочется возиться с цифрами и их арифметическими вычислениями, которые всё равно будут обратно приложены к длинам отрезков.

Если величина X сильно отличается от единичного отрезка 1, ошибка вычисления может быть значительной. Но если применить масштабирование, то ошибку можно значительно уменьшить. Например, при захождении корня длины 20, его можно поделить на 16 (4 раза поделить пополам), а потом ответ умножить на 4 (4 раза отложить полученный отрезок).




Комментарии (55):

  1. OldFisher
    /#23011970 / -1

    Ну или можно отложить циркуль и угольник в сторонку:
    image

    • Scinolim
      /#23014472

      Логарифмическая линейка это полный хайтек по сравнению с циркульной триангуляцией. При должной сноровке помогают приближённо считать быстрее, чем на калькуляторе и даже чем в bc. Но вот когда надо прикинуть размеры физических объектов «на глазок», то треугольники и синус малого угла в радианах удобно использовать.

  2. GeMir
    /#23012216

    Поздравляю, вы применили теорему о катетах и теорему о высоте Евклида (не уверен в правильности русских названий) — Hohensatz und Kathetensatz des Euklid. Материал 9 класса местной средней школы.

    • de-Bill
      /#23013206

      Можно вспомнить «египетский треугольник». Нужна только веревка.

  3. Ilyasyakubov
    /#23012258 / +1

    What the hell is going on here?!

  4. Refridgerator
    /#23012322

    Представьте, что у вас нет под рукой калькулятора (но есть циркуль и линейка или угольник)
    … а также есть компьютер ну или хотя бы смартфон, на котором вы читаете эту статью.

    • unsignedchar
      /#23013402

      Если у вас есть смартфон - математика вам не нужна. Ок ;)

      • Refridgerator
        /#23016404

        Если бы задачи на геометрические построения решались бы через комплексные числа — тогда бы это была бы математика. А так это не более чем развлечение. В современном мире найти калькулятор проще, чем циркуль с угольником.

        • Zenitchik
          /#23026672

          Когда размечаешь фанеру под выпиливание, к компу не набегаешься, а циркуль — в руках.

          • Refridgerator
            /#23026696

            Когда-то я тоже выпиливал в фанере круги и овалы лобзиком, и это было такое себе удовольствие. Ну а в 21 веке придумали такую штуку, как лазерная резка. Один мой товарищ буквально на днях с её помощью сферическую колонку запилил.

            • Zenitchik
              /#23026820

              Ну а в 21 веке придумали такую штуку, как лазерная резка.

              Не всякое изделие достойно быть отданным на оутсорс. Многие проще и быстрее выпилить прямо сейчас. Из-за какой-то мелочи тратить время на заказ и его ожидание — так себе удовольствие.

              • Refridgerator
                /#23026878

                Если человека устраивает качество вручную выпиленных форм — то и на сложные геометрические построения он заморачиваться не будет, отмерит всё на глазок. Канонический пример.

                • Zenitchik
                  /#23027608

                  У меня руки существенно более прямые, чем у товарища в "каноническом примере". В большинстве областей применения погрешность ±0,5 мм приемлема. Более точная резка фанеры — это забивание гвоздей микроскопом.


                  У Вас ложная дихотомия. Как будто, если не лазером, то обязательно на глазок.

                  • Refridgerator
                    /#23028280

                    Я думал будет очевидно, что видео с «самбуфером» — это ирония. Впрочем, в каждой шутке как известно. Лазерная резка даёт не только точность, но и скорость. Чтобы выпиливать сферическую колонку вручную — нужно иметь очень, очень много свободного времени.

                    Ну а раз вы упомянули свои прямые руки — то и приложили бы что-нибудь на фото для пруфа с описанием сопутствующих геометрических построений, чуть сложнее, чем вычерчивание окружностей циркулем.

      • Refridgerator
        /#23023326

        Перефразирую ответ, если позволите.

        Класс задач, решаемый циркулем и линейкой, довольно ограничен. Математики прошлого потратили много времени впустую, решая задачи о квадратуре круга, трисекции угла и аналогичные — пока наконец не догадалась, что они попросту не имеет решения. С тех пор поиск доказательств о наличии/отсутствии решения превратился в специальную дисциплину, а сама математика развивалась в сторону увеличения количества решаемых ею задач.

        Поэтом столкнувшись с реальной, а не учебной задачей (придуманной и уже решённой другим человеком), и отталкиваясь от своих знаний геометрии — вы рискуете остаться без решения даже в том случае, если это решение существует. И чтобы не быть голословным, приведу один конкретный пример.

        Вот тут некто спрашивает о построении параболы, повёрнутой на произвольный угол. И получает ответ, что сделать это классическим образом, через функцию — невозможно. Хотя на самом деле — возможно, и в ответе от 29 апреля даны конкретные формулы для этого, причём их вывод с использованием современных вычислительных средств оказался довольно прозаичным.

        Это не единственный случай, когда мне удавалось найти решение, которые другие считали сложным или невозможным. А всё потому, что я не считаю себя математиком — и полагаюсь не на собственные знания, а на накопленные и аккумулированные в системах компьютерной алгебры множеством намного более умных людей. Решать задачи на геометрические построения конечно же нужно — только это уровень 5-класса школы, и в школе же с этими задачами нужно и заканчивать. В противном случае у вас просто не останется времени на все прочие разделы математики — особенно те, которые в стандартном курсе математики не освещаются или освещаются крайне поверхностно.

    • tuxi
      /#23017338

      Интересная идея, наладить выпуск бумажной версии Хабра, например еженедельный журнал. И потом хранить подписку за много много лет, пока внуки не сдадут в мукулатуру в школе.

  5. oam2oam
    /#23012324

    Помню, мне при поступлении в МФТИ в далеком 1984 году предложили на устном экзамене по математике построить отрезок x, что ax^2-bx-c = 0 где a b c это заданные (нарисованные) отрезки. В день экзамена мне удалось первым решить, так что старенький профессор поставил 5 на устном (при том что за письменный было 3). А вы сможете решить этот пример?

    • haqreu
      /#23012406 / +1

      А чего тут решать, когда прямо в этой статье все арифметические операции, включая извлечение корня, даны? Достаточно вспомнить формулу для нахождения корней. Не самый элегантный способ, но зато думать вообще не надо.

      • unsignedchar
        /#23013410

        На собеседовании:

        • Напишите алгоритм ХХХ

        • А чего тут писать, все буквы известны

        :D

        • haqreu
          /#23013418

          У математиков распространена формулировка «задача сводится к предыдущей». Показать, как делать арифметические действия, и написать формулу для нахождения корней уравнения, которая использует только эти действия — это нормальная запись в математике.

      • ver-sta
        /#23020814

        Вот только в условиях задачи не сказано дан ли единичный отрезок, помимо отрезков $a,b,c$.

        • haqreu
          /#23020818

          А где там нужен единичный? Да если и нужен был бы, то поделить а на а не так сложно...

          • ver-sta
            /#23020832

            … то поделить а на а не так сложно...

            хорошо бы привести ход построения, тем более когда по-Вашему «не так сложно...»

            • haqreu
              /#23021098

              Кажется, я фигню сказал.

    • Scinolim
      /#23014482

      Построить параболу по сетке заданной отрезком а (смещение по горизонтали взять по производной) и найти пересечение с y=c.

      • oam2oam
        /#23014496

        даже интересно — а как построить параболу с помощью циркуля и линейки?

        • Scinolim
          /#23015394

          Думал есть только мелок и стол, строить по точкам от руки.

  6. haqreu
    /#23012430

    А хотите задачу со звёздочкой на построение? Циркуля нет, остаётся только неградуированная линейка, с помощью которой можно только проводить прямую через выбранные две точки, больше ничего.

    На плоскости есть отрезок, который мы бы хотели продолжить. Казалось бы, выбрать две точки на отрезке, приложить линейку и прочертить прямую. Но вот незадача: как раз на пути этой прямой посажено жирное пятно кетчупа, а мы линейку пачкать не хотим. Нужно продолжить изначальную прямую за пятном, не прикасаясь к нему линейкой.

    Это настоящая задача без подколок. Складывать листочки и хитрить другими подобными способами не требуется.

    • PlatinumThinker
      /#23012454

      есть другая задача со звездочкой - разделить угол с помощью циркуля и линейки на 3 части

      • haqreu
        /#23012458

        Если разделить на три равные части, то есть, задача о трисекции угла, то я не понимаю, зачем вы её упоминаете, поскольку она неразрешима для произвольных углов.

    • Busla
      /#23012596

      1. приложить линейку к отрезку, прочертить линию с другой стороны линейки, она будет параллельна — такими отступами обойти пятно
      2. линейку можно использовать как циркуль фиксированного размера
      3. на практике можно в третьем измерении прицелиться по отрезку и ткнуть карандашом за пятном — погрешность будет сопоставима с накопленной погрешностью нескольких перекладываний линейки при геометрических построениях

      • haqreu
        /#23012610

        Нет. Вы изобретаете способы схитрить. Я же чётко указал, что единственная разрешённая операция построения — чертить прямую через выбранные две точки. Ровно как в построении при помощи циркуля и линейки, только вот циркуль кто-то тиснул.

        • Refridgerator
          /#23018924

          То есть вы хотите сказать, что есть честное решение за конечное количество построений, без перехода в дополнительные измерения, сворачивания плоскости в тор etc? Очень интересно посмотреть на ответ.

          В свою очередь тоже могу предложить задачку чуть сложнее школьного уровня — найти все аналитические действительные корни уравнения

          Циркулем и градуированной линейкой пользоваться можно. Системами компьютерной алгебры — тоже.

          • haqreu
            /#23019036

            Про построение при помощи линейки смотрите сюда:
            habr.com/ru/post/556392

            Ваше уравнение… Начнём с того, что это уравнение пятой степени. Коэффициенты можно поделить минимум на -13, а то и на -143.

            Итак, поделив на -143, и сделав замену y := x^2, скопипастим вот такой код сюда: magma.maths.usyd.edu.au/calc
            Z := Rationals(); P := PolynomialRing(Z); f := y^5-15*y^4+42*y^3-30*y^2+5*y-1/11; G, R := GaloisGroup(f); G;

            Получим порядок 5 группы Галуа. Все уравнения, дающие группы порядка <60, решаемы. То есть, ваше уравнение можно решить в радикалах. Едем дальше: вполне очевидно, что мы получим пять разных положительных корней. То есть, над проблемой имеет смысл думать.

            Дальше мне лень думать прямо сейчас :)

            • Refridgerator
              /#23019494

              Коэффициенты действительно помножены на 13, чтобы немного усложнить задачу. Но поля Галуа тут скорее всего не при чём (по крайней мере, при составлении уравнения не участвовали), а корней всего 10 — плюс ещё 5 отрицательных. Можно ли их выразить в радикалах — я не знаю, в этой задаче они выражены через другие аналитические функции.

              • haqreu
                /#23019532

                Я имел в виду пять положительных корней уравнения пятой степени, разумеется, нужно из них ещё корень извлечь, получим десять.

                Группы Галуа при том, что конкретно это уравнение должно иметь решение в радикалах, что хорошо. Но мне сходу в голову не приходит, какую именно замену переменных сделать, чтобы выделить первый корень (дальше как по маслу пойдёт), я вообще в алгебре полный ноль.

              • haqreu
                /#23019590

                +-tan(pi/22)
                +-tan(3 pi/22)
                +-tan(5 pi/22)
                +-cot(pi/11)
                +-cot(2 pi/11)

                Я угадал?

                • Refridgerator
                  /#23019922

                  Практически, сot(k*pi/11), k=1..10. Как нашли корни?

                  • haqreu
                    /#23019976

                    Мои ответы полностью совпадают с вашими, хотя ваша запись безусловно элегантнее. Мне стыдно за то, как я нашёл ответ :)

                    Ну да ладно, будем честными. Я сразу сказал, что я полный нуль в алгебре. Но я же погроммист, записал уравнение пятого порядка, что привёл выше. Затем тупо решил его численно с двойной точностью, спасибо Ньютону за это. Получил пять корней, и стал думать, на что эти корни могут быть похожи. И вручную+программно подобрал функции тангенса. Взял из них плюс-минус корень и вуаля… Разумеется, проверил в пакете символьных вычислений, что каждый из моих ответов действительно даёт ноль вашего многочлена.

                    Эти ответы можно выразить через комплексные радикалы, но мне лень, они очень громоздки. Как соорудить такое уравнение, я теперь понимаю, но как люди должны его решать, не знаю. Покажите красивое решение, где комплексная окружность не вылезет из шляпы фокусника, а до неё можно нормально догадаться из изначального уравнения?

                    • Refridgerator
                      /#23020130

                      У меня тоже нет красивого решения, и я не знаю, каким бы оно было у настоящего математика. Само уравнение конечно же не случайно и получается из разложения в ряд функции Cos[n ArcTan[x]] (1+x^2)^(n/2) для n=11, и корни оттуда же считаются. Сама эта функция появилась тоже не случайно, а при решении вот этой вот задачи (при переходе к декартовым координатам).

                      А догадаться можно было поискав коэффициенты в OEIS.

                      • haqreu
                        /#23020190

                        Искать неспортивно. Жаль, что красивого решения мы не знаем, это же самое важное в задаче.

                        • Refridgerator
                          /#23020216

                          А подгонять ответ под численное решение значит спортивно)

                          • haqreu
                            /#23020230

                            Хм… Согласно моему внутреннему спортивномеру, да, моё вымученное решение спортивнее поиска непосредственно ответа :)
                            Хотя, разумеется, я ни разу не горд тем, как получил ответ.

                            • Refridgerator
                              /#23020528

                              Так там же не готовый ответ, а так, подсказка. Энциклопедии на то и существуют — чтобы находить готовый ответ, если тот уже существует. Эйлер так и получил свою формулу о комплексной экспоненте — найдя заранее известные разложения в ряд синуса и косинуса. И прочие функции с комплексными аргументами так же через уже известные ряды находятся.

            • Refridgerator
              /#23028292

              В вашем решении тоже есть допущение о наличии достаточного количества пространства для таких построений. В реальной жизни такого может и не быть. В реальной жизни в качестве препятствия скорее будет выступать не пятно кетчупа — а фонарный столб, дом, море и пр.

              Моё решение вашей задачи таково: используя линейку, из куска бумаги или картона сделать другую, а под пятно кетчупа сделать в ней выемку. Настоящий инженер (да и программист тоже) должен уметь изготавливать вспомогательные инструменты и находить нестандартные решения.

    • Xobotun
      /#23012692

      Мне кажется, что здесь надо построить два одинаковых параллелограмма, но я застрял на этапе построения четвёртого угла.

      Ну, то есть произвольную точку вне отрезка и "примерно-где-то на перпендикуляре к отрезку над жирным пятном" можно выбрать и построить треугольник, но как построить параллельную прямую, не имея доступа к созданию одинаковых углов — понятия не имею. Полагаю, линейка щербатая, и по ней даже прямой угол не построить. :)

      Если бы можно было через кляксу кетчупа провести линию, можно было бы как-нибудь воспользоваться симметрией. Да и то только если клякса точечная и лежит на отрезке.

      В общем, читерский брутфорс: продлить отрезок до луча в сторону от кляксы. Затем с другой стороны от луча с кляксой, на бесконечном удалении, начать строить прямую. Если она пересекает луч, стереть и попробовать под другим углом. Повторять, пока построенная прямая перестанет пересекать луч. В принципе, можно строить не на бесконечности, а на "удалении, несоизмеримо большим радиуса кляксы", от этого только точность пострадает. Главное — не найти ещё одну кляксу несоизмеримо большего размера рядом. :)

      • haqreu
        /#23013084 / +1

        Лично я решал эту задачу три дня (в фоновом режиме), очень любопытная проблема.

        Подсказка: насколько я знаю, все решения основаны на том, что построение является чертежом трёхмерной сцены.

    • ciubotaru
      /#23013040

      неградуированная линейка
      Можно ли хотя бы использовать длину линейки в качестве эталона (= можно ли откладывать отрезки, равные длине линейки)?

      • mobi
        /#23013050

        А это не будет равносильно использованию линейки в качестве циркуля?

        • haqreu
          /#23013082

          Именно, и это запрещено правилами. Можно только проводить прямую через выбранные две точки.

          • ciubotaru
            /#23013236

            Спасибо за объяснение. Я её решил. Действительно, длина линейки не понадобилась.

  7. Naf2000
    /#23012512

    С помощью теоремы Фалеса аналогично можно перемножать и делить числа

  8. Glintvein
    /#23014536

    Тема интересная для любителей математики. Автору спасибо. Но надо было начать с экскурса в историю, к тем временам когда геометрию принципиально отделяли от алгебры (скорее противопоставляли) и поэтому доказывалось что все задачи можно было решать с помощью линейки и циркуля.

  9. HelloWord
    /#23014538

    Вы издеваетесь что-ли, доказывать элементарное свойство для высоты через теорему Пифагора.
    Надо просто использовать подобие треугольников. Или, что тоже самое, посчитать тангенс равных углов — тангенс угла левого в большом треугольнике = h/a. Тангенс равного угла в меньшем треугольнике b/h. Углы равны, а значит и их тангенсы. h/a = b/h => ab= h^2

  10. mkostya
    /#23015098

    Есть еще одна задачка со звездочкой (была в ЗФТШ при МФТИ): по отрезкам a и b построить отрезок (a^4+b^4)^(1/4)