3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического управления. 3.9 Изодромное звено (изодром) +4


AliExpress RU&CIS

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами» читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки» факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность!

Данные лекции готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется. В предыдущих сериях:

1. Введение в теорию автоматического управления.
2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.32.3 — 2.82.9 — 2.13.
3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ.
3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ.
3.2. Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья.
3.3. Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора
3.4. Апериодическое звено 2-го порядка
3.5. Колебательное звено
3.6. Инерционно-дифференцирующее звено
3.7. Форсирующее звено
3.8. Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением).

Данное звено относится к разряду интегрирующих (или интегро-дифференцирующих звеньев). Название происходит от древнегреческого слова «равный, подобный». Данное звено обеспечиваюет гибкую обратную связь.

Уравнение звена имеет вид:

T \cdot y'(t)=k_1\cdot \left[ \tau \cdot x'(t)+x(t)\right]

в данном уравнении коэффициент k_1 безразмерный: [k_1] =\left[ 1\right]

Второй вид уравнения вид уравнения:

y'(t) = k_z \cdot \left[ \tau \cdot x'(t)+x(t)\right] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.9.1)}

в данном уравнении: k_z =\frac{k_1}{T} размерность [k_z]=\left[\frac{1}{c}\right]

Используя преобразование Лапласа, перейдем к уравнению в изображениях:

s\cdot Y(s) = k_z \cdot [\tau\cdot s+1]\cdot X(s) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.9.2)}

Из 3.9.2 получаем выражение для передаточной функции:

W(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{k_z\cdot(\tau\cdot s+1)}{s} =k_z\cdot \tau+\frac{k_z}{s} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.9.3)}

Данное звено можно представить в виде одного звена, либо в виде двух параллельных звеньев, идеально усилительного звена и идеально интегрирующего звена:

Рисунок 3.9.1 Эквивалентное представление изодромного звена
Рисунок 3.9.1 Эквивалентное представление изодромного звена

АФЧХ звена получается путем подстановки s =i \cdot \omega в уравнении 3.9.3

W(i\cdot \omega) = W(s) |_{s=i\cdot \omega}=\frac{k \cdot(1+ i \cdot \tau\cdot \omega)}{i \cdot \omega} =\\ - \frac{k\cdot(1+ i\cdot\tau\cdot\omega)\cdot i}{\omega}=\frac{k\cdot\tau\cdot\omega-k\cdot i}{\omega}=k\cdot \tau-i \cdot\frac{k}{\omega} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.9.4)}

Для построения годографа запишем мнимую и действительную часть АФЧХ

\begin{cases}U(\omega)&= k\cdot\tau=const; \\V(\omega) &= -\frac{k}{\omega};\end{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.9.5)}

Модуль АФЧХ

A(\omega) = |W(i\cdot\omega)| =\frac{k\sqrt{1+\tau^2\cdot \omega^2}}{\omega} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.9.6)}

Построим соответствующие графики:

Рисунок 3.9.2 АФЧХ изодромного звена
Рисунок 3.9.2 АФЧХ изодромного звена
Рисунок 3.9.3 АЧХ изодромного звена
Рисунок 3.9.3 АЧХ изодромного звена

Фазовый сдвиг определяется по обычной формуле:

\phi (\omega)=arctg\frac{V(\omega)}{U(\omega)}=-arctg\frac{1}{\tau\cdot\omega}= -arcctg (\tau\cdot \omega)\ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.9.7)}

из формулы 3.9.7 следует что:

\phi(\omega) \in\left]-\frac{\pi}{2};0\right[

Логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ):

Lm(\omega) = 20 \cdot lg(A(\omega))=\\=20 \cdot lg(k)+20\cdot lg\sqrt{1+\tau^2\cdot \omega^2}-20 \cdot lg(\omega) =\\=20 \cdot \lg\frac{k}{\omega}+20 \cdot lg\sqrt{1+\tau^2\cdot \omega^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.9.10)}
Рисунок 3.9.4 ЛАХ и ЛФЧХ изодромного звена
Рисунок 3.9.4 ЛАХ и ЛФЧХ изодромного звена

Если \omega <<\frac{1}{\tau}, то данное звено приблизительно соответствует идеальному интегрирующему звену - W(s)\approx\frac{k}{s}.

Если \omega>>\frac{1}{\tau}, то данное звено приблизительно соответствует идеальному усилительному звену - W(s)\approx k \cdot \tau

Найдем переходную h(t) и весовую w(t) функции звена (подробнее см. здесь).

Переходная функция:

h(t)= L^{-1}\left[ H(s)\right] =L^{-1}\left[\frac{W(s)}s{}\right]=k[t+\tau\cdot1(t)]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.9.11)}

Дифференцируюя по времени получим весовую функцию:

w(t) = k \cdot 1(t)+\tau\cdot\delta(t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.9.12)}

Множетель 1(t)в формуле 3.9.12 нужен для обеспечения \omega(0)=0

Рисунок 3.9.5 Переходная функция изодромного звена
Рисунок 3.9.5 Переходная функция изодромного звена
Рисунок 3.9.6 Весовая функция изодромного звена
Рисунок 3.9.6 Весовая функция изодромного звена

Примерами изодромного звена в первую очередь надо считать ПИ-регулятор, который обеспечивает пропорционально-интегрирующий закон управления, т.е. замкнутая САР (или САУ) управляется не только по рассогласованию (по ошибке), но и по интегралу от рассогласования:

Рисунок 3.9.7 Пример САР с изодромным звеном (ПИ-регулятор)
Рисунок 3.9.7 Пример САР с изодромным звеном (ПИ-регулятор)

Такое регулирование повышает точность.

Кроме того, к изодромным звеньям можно отнести:

1.     Операционный усилитель с обратной связью в виде RC-цепочки.

2.     Комбинированный демпфер (с упругой пружиной и вязким трением).

Пример

В качестве примера использования изодромного звена рассмотрим регулирование уровня и температуры в электрическом нагревателе.  А это практически то же самое, что и система управления в атомном реакторе. Таким образом, второй раз в лекциях мы переходим от теории к практике и посмотрим, как работает управление в технических системах.

А еще на этом примере мы покажем, что такое астатизм, и почему это не лечится!

Модель

Создадим комплексный в проект, в котором будут модель технического объекта (файл проекта heater.prt) и модель системы управления (файл heater-control.prt), объединенные в пакет (файл PI-HEATER.pak) с общей базой данных сигналов, аналогично тому, как мы делали для модели камеры смешения.

Рисунок 3.9.8 Модель нагревателя.
Рисунок 3.9.8 Модель нагревателя.

Нагреватель представляет собой бак объемом 1.5 м3, который подключен через клапан К1 к магистральному трубопроводу, где поддерживается постоянное давление 2.5 атм, и температура воды 20 °С град.

Нагреватель моделируется блоком «Бак со свободным уровнем» (Tank_2) в котором задано давление 1 атм. В баке установлен нагреватель (электрический), в котором задается тепловая мощность.

Потребители подключены к баку через клапан K2 и представлены граничным условием с давлением 1 атм. Для обеспечения расхода используется нивелирный перепад давления. Считается, что бак находится выше потребителей, и в блоке «Канал» задается приращение высоты.

Для моделирования нагревательных элементов используется блок «Цилиндрическая толстая стенка», внешняя сторона которой подключена к баку, а на внутренней задается мощность теплового потока с помощью блока «Тепловое граничное условие» (ThermalBound_4).

Такой же элемент «Цилиндрическая толстая стенка» используется для моделирования охлаждения нагретого бака в результате теплообмена с внешней средой. В качестве граничного условия в этом случае используется температура внешней среды – 20 °С.

Для подключения регулятора используются два блока «Датчик универсальный»: Sensor_L – для уровня в баке, Sensor_T – для температуры в баке.

Датчики забирают значения рассчитываемых параметров из блока Тank_2 и передают их в базу данных.  Например, на рисунке 3.9.9. изображено окно свойств блока Sensor_T, который обеспечивает связь между температурой в баке Тank_2._T и базой данных сигналов.

Рисунок 3.9.9. Связь датчиков с базой данной сигналов.
Рисунок 3.9.9. Связь датчиков с базой данной сигналов.

В модель из базы данных передается «Степень открытия, %» клапана K1. Это позволяет изменять расход в баке с целью получения требуемого уровня. На рисунке 3.9.10 показано окно редактирования свойства клапана K1 и связь с базой данных сигналов.

3.9.10 Связь положения клапана K1 в модели c базой данных сигналов.
3.9.10 Связь положения клапана K1 в модели c базой данных сигналов.

Для регулирования температуры в модели изменяется величина теплового потока из базы данных, передается «Плотность теплового потока, Вт/м2» в граничном условии ThermalBound_4. 

 На рисунке 3.9.11, показано окно свойств блока ThermalBound_4. В данном блоке задается разбиение на участки по длине 10 («Количество элементов по длине»), что позволяет формировать профиль температуры в зависимости от уровня воды в баке. В данной модели принимается равномерное распределение теплового потока по участкам.

Рисунок 3.9.11 Связь теплового потока в модели c базой данных сигналов.
Рисунок 3.9.11 Связь теплового потока в модели c базой данных сигналов.

Для демонстрации работы регулятора выполним моделирование следующей последовательности процессов:

1)    В начальный момент времени уровень в баке 0.5 м. Клапан K2 закрыт и расход на потребителей равен 0. Выполнятся наполнение бака до заданного уровня.

2)    На 500 секунде происходит открытие клапана K2 на 50% и устанавливается поток воды из бака для потребителей.

3)    На 1000 секунде происходит открытие клапана К2 на 100% и поток воды из бака для потребителей увеличивается до максимального.

Рисунок 3.9.12. Скрипт изменения состояния системы.
Рисунок 3.9.12. Скрипт изменения состояния системы.

Данный сценарий реализуется с помощью скрипта в главном окне программы (см. рис. 3.9.12)

Система управления

Задача системы управления – поддерживать уровень 0.9 м и температуру 80 °С при любых возможных расходах потребления.

В начальный момент времени: уровень 0.5 метра и температура 20 °С.

Система регулирования состоит из двух регуляторов, каждый из которых может работать в двух режимах:

1)    Пропорциональное управление.

2)    Пропорционально интегрирующее управление.

Схема системы управления представлена на рисунке 3.9.12. Коэффициенты заданы «на глаз» (в принципе их можно оптимизировать для улучшения качества управления, но это тема отдельной статьи). Пример настройки подобного регулятора есть в тексте: “Простой регулятор на базе нечеткой логики. Создание и настройка

Для переключения режимов служит блок «Ключ ручной управляемый». Если ключ разомкнут, то на выходе из блока выходит 0, и блок «Интегратор с ограничением» не участвует в формировании выходного сигнала в теплогидравлическую модель и режим управления – пропорциональный.

Если ключ замкнут, то через него проходит значение от блока интегратора и режим управления – пропорционально интегрирующий. (См. рис. 3.9.13.)

Рисунок 3.9.13 Модель системы управления
Рисунок 3.9.13 Модель системы управления

Нужно заметить, что такая модель не учитывает скорость закрытия и открытия клапана. Принимается, что скорость изменения уровня и температуры значительно меньше скорости перемещения регулирующего клапана, и клапан мгновенно занимает положение, заданное регулятором.

Сравнение вариантов расчета

Для сравнения двух вариантов расчёта, выполненных последовательно на одном графике, добавим еще один проект в пакет (файл data.prt).

В данном файле расчетная схема содержит графики, на которые выводятся текущие значения уровня и температуры (из базы данных сигналов) и значения из файлов с предыдущим расчётом (temp_old.dat и level_old.dat)

Во время расчёта мы сохраняем текущее значение в файлы (temp_cur.dat и level_old.dat). По завершению расчёта (секция finalization скрипта) мы копируем данные из текущего файла в сохраненный ранее с помощью глобального скрипта программы. (см. рис. 3.9.14)

Рисунок 3.9.14 Проект для сравнения вариантов расчета
Рисунок 3.9.14 Проект для сравнения вариантов расчета

Регулятор уровня

Первый вариант регулирования уровня – пропорциональный, когда степень открытия клапана K1 пропорциональна отклонению уровня в баке от заданного. Чем ниже уровень, тем больше открыт клапан K1 и тем больше расход в бак из магистрали. Если отклонение равно 0, то клапан закрыт полностью и уровень остается постоянным.

Коэффициент пропорциональности подбирается «на глаз» таким образом, чтобы скорость изменения была достаточной для выравнивания уровня за 100 – 200 секунд моделирования.

Первый вариант моделирования выполняем с разомкнутыми ключами, которые исключают из расчёта блок интегрирования и регулятор уровня пропорциональный (на графике зеленая линия “old”)  (см. рис. 3.10.15).

Рисунок 3.9.15 Сравнение пропорционального (old) и изодромного (new) регулятора уровня.
Рисунок 3.9.15 Сравнение пропорционального (old) и изодромного (new) регулятора уровня.

Из графика рис. 3.9.15 видно, что регулятор достаточно быстро и точно обеспечивает наполнение бака до заданного уровня, однако в момент открытия клапана K2 и появления расхода на потребителей данный регулятор не может поддерживать заданный уровень, поскольку клапан устанавливается в такое положение, чтобы обеспечить равенство расхода входящего и исходящего расхода. Естественно, этот уровень ниже, чем уровень 0.9, при котором клапан закрыт полностью.

Второй вариант моделирования – с замкнутым ключом. В формировании положения клапана участвует интегратор, регулятор уровня - пропорционально интегрирующий (на графике красная линия «new») (см. рис. 3.9.15).

Участие интегрирующего звена на этапе наполнения выражается в превышении заданного уровня. Интегратор накапливает разницу между заданным и целевым уровнем и продолжает держать клапан открытым. После того, как значение уровня достигло заданного, пропорциональная часть регулятора выдает 0, а интегратор выдает накопленное значение. (см. рис. 3.9.13). В дальнейшем пропорциональная часть будет выдавать постоянное отрицательное значение, а интегратор продолжит накапливать разницу.

Именно поэтому мы используем «Интегратор с ограничением», иначе потенциально, при длительном времени выдержки в этом состоянии, значение на интеграторе будет огромным.

 Для полного закрытия клапана необходимо, чтобы положительное значение после интегратора компенсировалось отрицательным значением пропорционально части. При этом полное закрытие клапана K1 (наполнения из магистрали) при закрытом клапане слива K2 не позволяет снизить уровень до требуемого значения.

При возникновении расхода из бака к потребителям мы видим, что интегратор в регуляторе позволяет вернуть уровень в баке к заданному значению (красная линия на см. рис. 3.9.15).

Как это работает можно понять из рисунков 3.9.16, 3.9.17, где на схему регулятора выведены значения на линиях связи в момент времени, когда переходные процессы завершены, и система находится в стационарном состоянии, клапан К2 открыт полностью.

Рисунок 3.9.16 Стационарное состояние при пропорциональном регуловании
Рисунок 3.9.16 Стационарное состояние при пропорциональном регуловании

При отсутствии интегратора в контуре управления уровень в баке устанавливается 0.8657 (см. рис. 3.9.16), разница между текущим и заданным уровнем обеспечивает на выходе из регулятора положение 3.42% для клапана K1. При таком положении входящий и исходящий расходы равны, и уровень держится постоянным, но не равным заданному.

Рисунок 3.9.17 Стационар при пропорционально - интегрирующем регуляторе
Рисунок 3.9.17 Стационар при пропорционально - интегрирующем регуляторе

Когда интегратор включен в контур управления, уровень в баке устанавливается точно равным заданному значению 0.9 (см. рис. 3.9.16). Пропорциональная линия в регуляторе выдает -1.18E-11, что практически равно 0, поскольку разница между текущим и заданным уровнем отсутствует. Однако значение, накопленное в интеграторе, обеспечивает на выходе из регулятора положение 3.468% для клапана K1. При таком положении входящий и исходящий расходы равны, и уровень держится постоянным и равным заданному.

Такое свойство регулятора, держать заданный уровень, при различных воздействиях на систему (разных расходах потребителя) называется астатизм.

Определение: АСТАТИЗМ (от греч. astatos - неустойчивый) - свойство системы регулирования, состоящее в том, что установившаяся погрешность не зависит от величины или характера изменения внешнего воздействия.

В динамике это можно посмотреть на видео здесь:

Регулятор температуры

Процесс регулирования температуры приведён на рисунке 3.9.18

Рисунок 3.9.18 Сравнение пропорционального (old) и изодромного (new) регулятора температуры.
Рисунок 3.9.18 Сравнение пропорционального (old) и изодромного (new) регулятора температуры.

Первый вариант моделирования с разомкнутым ключом – регулятор пропорциональный (зеленая линия “old” на рис, 3.9.18) – видим что, наличие утечки тепла (охлаждение через стенку бака) не позволяет пропорциональному регулятору довести температуру до заданного значения. Пропорциональный регулятор удерживает разность температур между текущей и заданной такой, чтобы компенсировать утечку тепла через стенку. При подключении потребителей поток холодной воды из магистрали вызывает увеличение необходимой энергии для подогрева и, соответственно, разница между заданной температурой и фактической опять увеличивается.

Второй вариант с замкнутым ключом и участием интегратора в работе пропорционально итерирующего регулятора (красная линия «new» на графике 3.9.15). Видно, что на стадии нагрева интегратор также вызывает перегрев, аналогично превышению в регуляторе уровня. В дальнейшем наличие постоянной утечки тепла через стенку позволяет пропорционально интегрирующему регулятору снизить температуру до заданного уровня и поддерживать ее при отсутствии подключений потребителей.

При подключении потребителей пропорционально интегрирующий регулятор температуры также обеспечивает возврат температуры к заданному в алгоритме значению.

Вывод:

Интегратор в контуре управления увеличивает точность регулирования, пример это подтверждает.

Астатизм регулятора это хорошо! Но не всегда! как утверждает уважемый пользователь хабра FGV:

"..За все надо платить, и плата за стремящуюся в статике к 0 ошибку заключается в том что у такой САУ появляется дополнительные повороты фазы на ФЧХ. Для отдельной САУ это малозначащий фактор, но если САУ входит в другие САУ то такое искажение ФЧХ может ухудшить динамические характеристики системы. Как пример - рулевые машинки БПЛА самолетного типа (все что видел) - на пропорциональном регуляторе."

Модель для самостоятельно изучения можно взять здесь.

Предыдущая часть лекций: 3.8 Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением)




Комментарии (20):