Почему производная экспоненты равна ей самой? -11



Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Я уверен, что многие из Вас из школьного курса математики прекрасно помнят чудесную функцию - экспоненту, производная которой, сколько бы её не брать, равняется исходной функции.

 Число в основании функции-экспоненты - это знаменитое число Эйлера е = 2,718281828...
Число в основании функции-экспоненты - это знаменитое число Эйлера е = 2,718281828...

Однако, многие ли из Вас знают, почему так происходит? Сегодня я хочу это рассказать на максимально простом языке. Поехали! Рассмотрим две показательные функции:

Вспомним теперь классическое определение производной функции как предела отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

  • Простыми словами: мы анализируем скорость изменения функции f(x) при бесконечно малом изменении её аргумента, которое мы будем обозначать ∆х.

В формулах для первой функции это выглядит так:

Давайте кое-что посчитаем на калькуляторе, а именно выражение под знаком предела. Например, пусть изменение функции ∆х = 0,001. Тогда:

Впрочем, это ничего нам не даст... До того момента, как мы не посчитаем аналогичное выражение для функции, в основании которой 3:

А вот это уже интересно. Если немного вспомнить математический анализ, то в голове всплывает вторая теорема Больцано-Коши или теорема о промежуточном значении.

Применительно к нашему случаю она позволяет утверждать, что рассматриваемая функция (имеется ввиду дробь (x^∆х-1)/∆х) при каком-то x равняется единице! Если мы найдем такое х, то по определению получим равенство функции её производной! Начинаем! Приравниваем нашу функцию к единице:

Это...просто...восклицательный знак
Это...просто...восклицательный знак

Второй замечательный предел - это известное из школьного курса соотношение, неизменно приводящее к числу Эйлера. Таким образом, доказательство окончено!

  • TELEGRAM "Математика не для всех" - там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.




Комментарии (32):

  1. ashiku
    /#23756527 / +8

    И почему производная экспоненты равна 0?
    Вы ведь сами показали, что в случае, например, f(x) = 2^x производная равна log2(e) * 2^x, что не равно нулю собственно говоря нигде.

    Простите за токсичность, но название вашего канала играет новыми красками :)

    • andreybrylb
      /#23756529 / +1

      Да я попутал))) ей самой конечно)

  2. 631052
    /#23756767 / +1

    так нам надо не чтоб дробь была равна 1, а предел дроби был равен 1.

    нет я не оспариваю исходного утверждения, это я придираюсь (в математике так принято)

    восклицательный знак в конце я бы не ставил. а то мне за ним начинает мерещиться гамма-функция, зачем нам всё это. ну ладно, моя личная заморочка.

    ну а эллипс в школе учили рисовать двумя канцелярскими кнопкам и ниткой. используя определение эллипса как ГМТ, для которых сумма расстояний (и т.д. и т.п)

    ну да, подписался на канал есть такое

  3. GospodinKolhoznik
    /#23756811 / +11

    Как-то несолидно вести математический канал, и не владеть LaTeXом.

    • Вкусовщина. Мне это напомнило презентации и проходные статьи прошлого века, когда большая часть текста печаталась, а формулы вписывались вручную. Впрочем, я те времена вживую не застал, но материалы-то живы ещё.

      P.S. в discord есть боты, которые парсят tex-вставки в сообщениях пользователей и сразу рендерят их в виде картинок. А как автор ведёт свой канал без подобного?

      • andreybrylb
        /#23759725

        А мне нравится писать) пачка бумаги и в бой) обработка стандартным приложением xiaomi как документа

    • vectorplus
      /#23757013 / +7

      Я нежно люблю LaTeX, всегда им пользуюсь, и при прочтении статьи была такая же мысль. Но, тем не менее, мне эти записи на бумажке показались уютными и ламповыми, вызвали положительные эмоции. Кто из нас не писал формулы на обороте конверта, когда припекло? Тем и прекрасна математика, что суть можно хоть на банановой кожуре выразить.

    • Tsvetik
      /#23758017

      зато на мобилке все видно

  4. vvadzim
    /#23757053 / +15

    Гхм.. ну как бы потому что экспонента это одно из решений простейшего дифференциального уравнения f(x)=f'(x). Правильно решили значит, чё....

    А ещё дырочки в шкурке у кошки именно там где у кошки глазки.

    • Shkaff
      /#23759381

      одно из решений

      Любопытно, но это единственное решение этого уравнения (с точностью до константы). Нет других функций, которые были бы производными самих себя.

      • GospodinKolhoznik
        /#23760779 / +1

        • Shkaff
          /#23760857

          с точностью до константы;) В вашем случае константа = 0.

          • haqreu
            /#23761649

            Я привык к употреблению словосочетания "с точностью до константы" в значении добавления константы. Вы же употребляете в смысле "с точностью до умножения на константу", что для меня необычно. А для вас?

            • Shkaff
              /#23762779

              Ну да, я мог бы написать и попонятнее, my bad, но с добавлением константы оно не работает, так что мне и в голову не пришло.

  5. muxa_ru
    /#23757119 / +14

    Почему производная экспоненты равна ей самой?

    ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ экспоненты, потому что неперово число является результатом решения уравнения в котором степенная функция равна производной от себя.

    Точно так же можно задавать вопрос "почему функция икс_в_квадрате равна функции икс_умножить_на_икс". Ответом тоже будет "по определению".

    • haqreu
      /#23759055

      степенная функция

      показательная функция?

      • muxa_ru
        /#23759261

        Да, спасибо, перепутал. :(

    • haqreu
      /#23759431 / +1

      Только определение не уникально; правильнее было бы сказать "по одному из определений". Лично мне экспоненциальную функцию вводили как предел lim (1+x/n)^n.

      Впрочем, у нас преподаватель анализа был оригинален, и даже производную определял как коэффициент второго члена ряда Тейлора функции в точке.

      • GoldJee
        /#23759753 / +2

        А как он объяснял сам ряд Тейлора до введения понятия производной?

        • haqreu
          /#23759773 / +1

          Ой, он определял понятие струй функций, что вводило порядок близости.

        • haqreu
          /#23762951

          Я не удержался, достал учебник, чтобы проверить свои воспоминания четвертьвековой давности. Держите :)

      • 631052
        /#23760189 / +1

        вот да об чем и речь. по одному из определений.

        вот если бы автор доказал, что они эквивалентны, то было бы неплохо.

        т.е. сначала для последовательности: она возрастает, ограничена сверху, значит есть предел. обзовем его "е".

        и пусть докажет, что показательная функция e^x с таким вот "е" (введенным как предел последовательности) обладает заявленным свойством.

  6. yukon39
    /#23757127 / +11

    Почему производная экспоненты равна ей самой?

    Это вы её еще интегрировать не пробовали!

  7. maisvendoo
    /#23757209 / +4

    Сдается мне, что ответ на вопрос поста прост как 5 копеек - данная функция может быть определена как частное решение дифференциального уравнения

    y'(x) = y(x)

    откуда и следует ответ, очевидный из уравнения

  8. maggg
    /#23757459 / +6

    Не обижайтесь только, но вы только что доказали, что отношение длины окружности к диаметру равно pi, воспользовавшись школьной формулой для длины окружности. Но это не доказательство, а тавтология.

  9. maisvendoo
    /#23757767 / +5

    Анекдот на тему.

    Попал студент в психушку. Новенький, его бывалые пациенты обступили, смотрят, трогают, в общем достали. Ему надоело, и он рыкнул:
    - Сейчас я вас всех продифференцирую!
    Половина смылась. Он ещё раз:
    - Сейчас я вас всех проинтегрирую!
    Смылась другая половина. Остался один псих. Студент ему:
    - А ты, что, меня не боишься!?
    - А я - e в степени икс!

    • 631052
      /#23757781 / +7

      Знаем.

      Он потом "а я d/dy", и хрясь тому по башке

  10. senpay
    /#23757813 / -4

    Интересная статья, спасибо!

  11. Alexander_The_Great
    /#23761727 / +1

    Как вообще модераторы такое пропускают? В последнее время всё больше околонаучных статей на хабре либо не имеют отношения к науке, либо пишутся фриками.

    • belav
      /#23761823

      Есть прикольный фильм "Идиократия". Идём примерно таким же курсом.

  12. sargon5000
    /#23761865 / +2

    Камрад, плюньте вы на математику и займитесь русским языком, с ним у вас серьезные проблемы. Когда я читаю ваше "многие из Вас ...' – у меня кровь из глаз течёт. Запомните, "вы" и "вас" никогда не пишутся с большой буквы при обращении к нескольким людям сразу. Скажу больше: писать "Вы" и при обращении к одному лицу не нужно почти никогда. Нужно всего в трёх случаях, поинтересуйтесь сами, в каких. Когда вы обращаетесь к единственному человеку так, как будто его здесь несколько, то есть на "вы" – это уже абсолютно достаточное проявление вежливости!

  13. VladimirLadynev
    /#23766497

    Я не сильно разбираюсь в математике. И вот что меня смутило (x^∆х-1)/∆х) — здесь x, это не тот же самый x, что в 2^x или 3^x. Может быть его другой буквой лучше обозначить: (a^∆х-1)/∆х). Или я не прав?