Кватернионы для чайников +6


В данной статье на конкретном примере рассматриваются особенности применения различных методов поворота 3D объекта в пространстве. В частности, сравнивается применение углов Эйлера и кватернионов.


Данная статья пригодится вам, если вы уже прочитали определение кватерниона и давно ищете наглядный материал для того, чтобы понять, зачем придумали кватернионы, и чем же они отличаются от углов Эйлера.


Наглядная демонстрация поворота по углам Эйлера уже была описана в статье на Хабре, особенно интересно поиграть с моделью самолётика (ссылки на программу в той же статье внизу).


Заручившись помощью чудесного сайта tinkercad.com представляю вам более наглядную демонстрацию поворотов предмета по углам Эйлера и сравнение с поворотом на основе кватерниона.


Демонстрация поворотов по углам Эйлера


Поворачивать будем избушку на курьих ножках. Вот ссылка на модель: Izba3D.


Избушка в изометрии
Рис. 1. Избушка в изометрии


Поворот вокруг оси Z, а потом оси Y


  1. Повернуть на 90 градусов вокруг оси Z

image2
Рис. 2. Результат поворота рисунка 1 на 90 градусов вокруг оси Z


  1. Повернуть на 90 градусов вокруг оси Y

image3
Рис. 3. Результат поворота рисунка 2 на 90 градусов вокруг оси Y


Поворот вокруг оси Y, а потом оси Z


  1. Повернуть на 90 градусов вокруг оси Y

image4
Рис. 4. Результат поворота рисунка 1 на 90 градусов вокруг оси Y


  1. Повернуть на 90 градусов вокруг оси Z

image5
Рис. 5. Результат поворота рисунка 4 на 90 градусов вокруг оси Z


Сравнение и выводы


Сравним получившиеся картинки:


image6
Рис. 6. Сравнение результатов поворота


Вывод: Порядок применения поворотов влияет на результат.


Кватернион


Гораздо удобнее пользоваться кватернионом, а именно, вектором и величиной поворота вокруг этого вектора.


Допустим, мы хотим повернуть избушку вокруг зелёного крылечка на 90, а потом снова на 90 градусов. Тогда пусть направление вектора совпадает с направлением зелёного крылечка.


image7
Рис. 7. Избушка на курьих ножках с зелёным крылечком


image8
Рис. 8. Поворот на 90 градусов вокруг вектора, совпадающего с крылечком


image9
Рис. 9. Второй поворот на 90 градусов вокруг вектора, совпадающего с крылечком


Литература
  1. Кручу-верчу, запутать хочу: углы Эйлера и Gimbal lock, http://habrahabr.ru/post/183116/, 23.06.2014
  2. Углы Эйлера, Википедия, http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B3%D0%BB%D1%8B_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0, 23.06.2014
  3. Maths — AxisAngle to Quaternion, http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/rotations/conversions/angleToQuaternion/, 23.06.2014
  4. Вращение и кватернионы. Сборник рецептов, http://www.gamedev.ru/code/articles/?id=4215, 23.06.2014
  5. https://tinkercad.com/




Комментарии (10):

  1. Aquahawk
    /#24421634

    самое лучшее и понятное объяснение того что такое кватернион что я видел в жизни.

  2. sbars
    /#24421830 / +5

    Учитывая, что крылечко не вектор, то какому-либо вектору тяжело будет "совпасть" с крылечком.

    И ещё, поворачивая избушку вокруг оси, не проходящей через начало координат, Вам нужно задать эту ось - это какая либо точка на оси и вектор, коллинеарный этой оси. Для этого понадобятся два поворота, если мне не изменяет память. Т.е. два кватерниона.

  3. FD4A
    /#24422204 / +1

    Ось и угол это хорошо, но я думал что (еденичный) квартерион это 4-х елементный ветор:

    [v*sin(alpha/2) cos(alpha/2)], где v еденичный вектор направленный вдоль оси, а alpha это угол.

  4. Zenitchik
    /#24422240 / +1

    А матрица поворота чем плоха?

    • Refridgerator
      /#24422656

      Отсутствием гарантированной консистентности (в силу избыточности данных) и дискретной направленностью. Возвести матрицу в нецелую степень, найти производную, посчитать длину пройденного пути будет не просто.

      • Zenitchik
        /#24424782

        Так для поворота кватернион тоже избыточен. Достаточно угла \vec \varphi в векторной форме.

        Я чую, что всё удобство кватерниона должно быть в том, что он - число, а вектор или матрица - нет. Моя догадка верна?

        • Refridgerator
          /#24426498

          Кватернион тоже не число, а гиперкомплексное число — такая же математическая абстракция, как и матрица, в этом нет преимущества. Преимущества в аналитичности и одинаковой размерности — не нужно смешивать вектора и матрицы, не нужно использовать множество вариантов умножения (скалярное, векторное и т.д.). Недостатки — в большей сложности, векторы и матрицы интуитивно проще (и в школе их проходят, в отличие от).

          • Zenitchik
            /#24428082

            Кватернион тоже не число, а гиперкомплексное число — такая же математическая абстракция, как и матрица, в этом нет преимущества.

            Отнюдь. Не такая же. Гиперкомплексные числа - это такая же абстракция, как действительные числа, но не такая же, как вектора или матрицы.

            Преимущества в аналитичности и одинаковой размерности — не нужно смешивать вектора и матрицы, не нужно использовать множество вариантов умножения

            Так это и есть следствие того, что кватернион - число, и на него распространены все операции с числовыми операндами и функции числовых аргументов.

    • DimPal
      /#24424694

      Кватернионы удобны для интерполяции между повернутыми положениями.

  5. Robgnokfar
    /#24425680 / +2

    Господи, и 10 лет не прошло, а статья вышла!

    Я писал эту статью в далёком 2014 году, кажется. Разбирался с тем, как задавать углы для сервомашинок робота в ROS и решил то, что понял выложить в виде статьи.

    Сейчас конечно с улыбкой смотрю на эту пробу пера. Избушка - не совсем удачное объяснение. Лучше всего для математиков объясняет Савватеев.

    А я тут попытался для программистов и робототехников, так сказать, с практической стороны.